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Geometria e Algebra - Determinanti

Dispensa di Geometriae Algebra- Determinanti. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Determinante di una matrice, Richiami di calcolo combinatorio, Definizione di determinante, Proprietà dei determinanti, Calcolo del determinante con la regola di Laplace, ecc.

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  • 20-03-2013
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Geometria e Algebra - Determinanti
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Anteprima Testo:
Determinante di una matrice Richiami di calcolo combinatorio Dato un numero naturale n, si chiama n fattoriale il numero denotato con n! ed ottenuto dal prodotto dei primi n numeri interi: n! = 1  2  ⋯  n Si assume, per convenzione, 0! = 1. Esempio: 3! = 3  2  1  6 ; 5! = 5  4  3  2  1  120 ;
6! = 6  5  4  3  2  1  720 .
Si chiama permutazione di N n 1 una funzione biettiva p : N n  N n . L’insieme delle permutazioni di N n si denota con Sn ed è formato da n! elementi. Ogni permutazione si può rappresentare con la scrittura: 1  p  1
2 p2
3 ⋯ n   p3 ⋯ p n  
oppure, più semplicemente, con:
 p1 , p 2 , ⋯ , p n  dove pi = p(i). Sia p  Sn , si dice che p presenta una inversione nella coppia (h,k)  N n x N n se hp(k). Il numero di coppie di inversione per p si indica con μ (p). Si chiama segno di p il numero: sign(p) = (-1) μ
(p)
La permutazione p è detta di classe pari se sign(p) = 1 ( μ (p) pari), di classe dispari se sign(p) = -1 ( μ (p) dispari). Esempio: Consideriamo la permutazione: (6,8,1,7,5,3,4,2), l’insieme delle coppie di inversione è dato da: (1,3), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (2,8), (4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,6), (5,7), (5,8), (6,8), (7,8); quindi, μ (p) = 20 e p è di classe pari. 1
Nn =  1,2,⋯ n.
1
Il segno di una permutazione si può determinare calcolando le coppie di inversione oppure, più semplicemente, il numero di intersezione dei collegamenti: i ______ pi nella rappresentazione di p. Esempio: La permutazione 1 2 3 4         1 4 2 3   è di classe pari in quanto i collegamenti: i ______ pi si intersecano due volte.
Definizione di determinante Sia A  M n (R ) , si chiama determinante della matrice A il numero: det (A) = A =
 sign( p)  a
1, p1
 a 2, p2  ⋯  a n , pn
pS n
cioè la somma di tutti i possibili prodotti di n elementi appartenenti a righe e colonne diverse tra loro. Esempio: Calcoliamo il determinante della matrice:  a11 A=  a  21
a12   a 22  
Le permutazioni di S2 sono: 1 2  p=  1 2    
1 2 q=   2 1   
di cui la prima è di classe pari e la seconda di classe dispari. Dunque: det(A) = a1 p1  a 2 p2  sign( p)  a1q1  a 2 q2  sign(q )  a11  a 22  a12  a 21 . Si provi, per esercizio, a calcolare la formula del determinante di una matrice quadrata di ordine 3.
Proprietà dei determinanti
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Il determinante di una matrice A M n (R ) gode delle seguenti proprietà: t d1 ) A = A ;
d2) Se B è ottenuta scambiando due righe (o colonne) di A, allora B = - A ; d3) Se B è ottenuta da A sommando ad una riga (o colonna) una combinazione lineare delle restanti righe (colonne), allora B = A ; d4) Il determinante di A si annulla se e solo se le righe o le colonne di A sono linearmente dipendenti. Calcolo del determinante con la regola di Laplace Sia A  M n (R ) , si dice complemento algebrico dell’elemento ahk , e si indica con Ahk, il determinante della matrice quadrata di ordine n-1 ottenuta da A sopprimendo la h-esima riga e la kesima colonna preso con il segno (-1)h+k. Teorema di Laplace. Il determinante di una matrice quadrata A di ordine n è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una sua riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici. Cioè: n
A = a i1 Ai1  a i 2 Ai 2  ⋯  a in Ain   a ij A ij
i  1,2, ⋯ , n
j 1
oppure n
A = a1 j A1 j  a 2 j A2 j  ⋯  a nj Anj 
a
ij
A ij
j  1,2, ⋯, n
i 1
Esempio: Calcoliamo i determinante della matrice  1  1 2   A =   2 3 0  1 1 4   applicando la regola di Laplace alla seconda riga. A =  2  (1) 
1 2 1 2  3  (1)   6. 1 4 1 4
Il teorema di Laplace fornisce un metodo semplice per il calcolo del determinante. Ovviamente conviene applicarlo alla riga o colonna “più semplice”, ossia alla linea contenente più zeri. Teorema. Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi della diagonale principale.
3
Dimostrazione. Basta applicare il teorema di Laplace nel senso indicato dal seguente schema: a11 0 A= ⋮ 0
a12 a 22 ⋮ 0
⋯ a1n a 22 ⋯ a 2n 0 = a11 ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ a nn 0
a 23 a 33 ⋮ 0
⋯ a 2n ⋯ a 3n = a11 a 22 ⋱ ⋮ ⋯ a nn
a 33 0 ⋮ 0
a 34 a 44 ⋮ 0
⋯ a 3n ⋯ a 4n  ⋯  a11 a 22 ⋯ a nn ⋱ ⋮ ⋯ a nn
 Calcolo del determinante con il metodo di eliminazione di Gauss Il metodo di eliminazione di Gauss è una procedura che permette di trasformare una qualunque matrice quadrata A in una matrice triangolare A' , mediante una successione finita di trasformazioni elementari del tipo : T1 : scambio di due differenti righe: ai  a j (o colonne: a i  a j ); T2 : somma di una riga (o colonna) con un’altra moltiplicata per uno scalare: ai  ai  a j ( a i  a i  a j ). Poiché le trasformazioni del tipo T1 cambiano il segno del determinante, mentre le trasformazioni del tipo T2 non alterano il determinante, le matrici A ed A' avranno lo stesso determinante se si è operato un numero pari di scambi di righe o colonne, se invece si è operato un numero dispaEspandi »ri di scambi allora A =  A' . Descriviamo ora il metodo di eliminazione di Gauss. Sia  a11   a 21 A=  ⋮  a  n1
a12 a 22 ⋮ an 2
⋯ a1n   ⋯ a 2n  ⋱ ⋮  ⋯ a nn  
Una matrice quadrata di ordine n. Mediante scambi di righe o colonne facciamo in modo che a11  0 (se A è diversa dalla matrice nulla ciò è sempre possibile). Dobbiamo ora operare in modo che tutti gli elementi della prima colonna, eccetto il primo, siano nulli. Pertanto, per ogni j  2,3, ⋯ , n, basta sottrarre alla j-esima riga della matrice A la prima riga moltiplicata per a j1 / a11 . Si ottiene così una matrice del tipo
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 a11   0 A' =  ⋮   0 
a12 a 22 ⋮ a n2
⋯ a1n   ⋯ a 2n  ⋱ ⋮  ⋯ a nn  
che ha lo stesso determinante della matrice A o, al più, il suo opposto. Operando in modo analogo sulle colonna successive, si perviene ad una matrice triangolare il cui determinante differisce da quello di A al più per il segno. Esempio: 0 0 3  3 1 0 A = 2 2 4  2 2  2 
1 3 1 0   2  a a 0 0 3 2 1    2  2 4 4   2 2  2 0  
1  0 ) a2 a3  (3 a4  3   a3  2 / ) a2  a4  ( 2 /  0  0 
2 3 2  1 0    1  a  a  2a 0 1  0 3 a 4  a4 2 a1 3 3 1           4 0 2 2 0     0 2  8  4 0   
0 3 2  1   3 0 1  a  a  4a 0 4 4 3       0 2 2/3  0    0 0  8  14 / 3  
0 3 2   3 0 1  0 2 2/3   0 0  22 / 3  
tenuto conto che si è effettuato un solo scambio di righe, il determinante della matrice A risulta: A =  (1  3  2  22 / 3)  44.
Rango di una matrice La proprietà d4 consente di stabilire rapidamente se un sistema di n vettori numerici di ordine n, v1 , v 2 , ⋯ , v n , è linearmente dipendente o indipendente. Basta infatti considerare la matrice A che ammette i vettori v1 , v2 ,⋯ , v n come righe o come colonne e calcolare il determinante di A. Se A = 0 allora i vettori saranno linearmente dipendenti, diversamente essi saranno linearmente indipendenti.
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Esempio: Siano dati i vettori u = (1,1,2), v = (0,-1,1) e w = (1,3,0) di R 3 . Per stabilire se sono linearmente dipendenti, consideriamo la matrice 1 1 2   A = 0  1 1 ; 1 3 0   Essendo A = 0 allora i vettori u, v e w sono linearmente dipendenti.
Il metodo dei determinanti non è applicabile in generale, perché se l’ordine dei vettori è diverso dal numero dei vettori si ottiene una matrice non quadrata. Per studiare in generale la dipendenza lineare di un sistema di vettori bisogna ricorrere al concetto di rango di una matrice. Sia A  M m, n ( R ) , si dice minore di ordine k di A (k  m e k  n) una matrice quadrata di ordine k ottenuta da A sopprimendo m-k righe e n-k colonne. Esempio: 2 2 4  1   A =   1 1 / 2 0  3 0 3 1 5    Sono minori di ordine due di A, ad esempio, le matrici: 2  1 A'     1 1/ 2   
1 / 2 0  A' '    3 1 ,   
A' è ottenuta da A sopprimendo la terza riga e la terza e quarta colonna; A' ' è ottenuta da A sopprimendo la prima riga e la prima e quarta colonna. Si definisce rango di una matrice A  M m, n ( R ) , e si indica con  (A), l’ordine massimo di un minore estratto da A con determinante diverso da zero. Ovviamente, se la matrice A è quadrata di ordine n, allora  (A) = n se e solo se il determinante di A è diverso da zero.
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Teorema. Sia A M m, n ( R ) , la dimensione dello spazio generato dalle righe della matrice A coincide con la dimensione dello spazio generato dalle colonne di A. Inoltre si ha:
 (A) = dim L a1 , a 2 , ⋯ , a m  = dim L a 1 , a 2 , ⋯ , a n  . I minori della matrice aventi determinante non nullo e di ordine massimo (cioè pari al rango di A) sono detti minori fondamentali. Le righe e le colonne che formano un minore fondamentale costituiscono una base, rispettivamente, di L a1 , a 2 , ⋯ , a m  e di L a 1 , a 2 , ⋯ , a n . Cioè costituiscono un sistema massimo di righe e di colonne linearmente indipendenti.


Esempio Calcoliamo la dimensione ed una base del sottospazio vettoriale W di R 4 , dato da: W = L((1,-1,2,0),(0,-1,1,1),(1,1,0,-2)). Consideriamo la matrice: 1  1 2 0    A = 0  1 1 1  1 1 0  2   Poiché il minore formato dalle prime due righe e dalle prime due colonne ha determinante diverso da zero, allora il rango di A è almeno 2. Per stabile se vale 2 o 3, occorre esaminare i minori del terzo ordine. Ossia: 1  1 2   0  1 1 1 1 0  
1  1 0    0  1 1  1 1  2  
1 2 0    0 1 1  1 0  2  
1 2 0    1 1 1  .  1 0  2  
Il determinante di ciascuna di tali matrici è zero, pertanto il rango di A e quindi la dimensione di W è due. Il minore costituito dalle prime due righe e dalle prime due colonne è un minore fondamentale, dunque, una base di W è data da  (1,-1,2,0), (0,-1,1,1) . Osserviamo che, in generale, il minore fondamentale non è unico. Un altro minore fondamentale si ottiene, ad esempio, considerando le prime due righe e la seconda e quarta colonna. Determinare gli altri minori fondamentali « Comprimi
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