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Geometria e Algebra - Determinanti

Dispensa di Geometria e Algebra - Determinanti. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Determinante di una matrice, Richiami di calcolo combinatorio, Definizione di determinante, Proprietà dei determinanti, Calcolo del determinante con la regola di Laplace, ecc.

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e Algebra lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof De Vito Paola.
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Geometria e Algebra - Determinanti
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Determinante di una matrice Richiami di calcolo combinatorio Dato un numero naturale n, si chiama n fattoriale il numero denotato con n! ed ottenuto dal prodotto dei primi n numeri interi: n! = 1  2  ⋯  n Si assume, per convenzione, 0! = 1. Esempio: 3! = 3  2  1  6 ; 5! = 5  4  3  2  1  120 ;
6! = 6  5  4  3  2  1  720 .
Si chiama permutazione di N n 1 una funzione biettiva p : N n  N n . L’insieme delle permutazioni di N n si denota con Sn ed è formato da n! elementi. Ogni permutazione si può rappresentare con la scrittura: 1  p  1
2 p2
3 ⋯ n   p3 ⋯ p n  
oppure, più semplicemente, con:
 p1 , p 2 , ⋯ , p n  dove pi = p(i). Sia p  Sn , si dice che p presenta una inversione nella coppia (h,k)  N n x N n se hp(k). Il numero di coppie di inversione per p si indica con μ (p). Si chiama segno di p il numero: sign(p) = (-1) μ
(p)
La permutazione p è detta di classe pari se sign(p) = 1 ( μ (p) pari), di classe dispari se sign(p) = -1 ( μ (p) dispari). Esempio: Consideriamo la permutazione: (6,8,1,7,5,3,4,2), l’insieme delle coppie di inversione è dato da: (1,3), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (2,8), (4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,6), (5,7), (5,8), (6,8), (7,8); quindi, μ (p) = 20 e p è di classe pari. 1
Nn =  1,2,⋯ n.
1
Il segno di una permutazione si può determinare calcolando le coppie di inversione oppure, più semplicemente, il numero di intersezione dei collegamenti: i ______ pi nella rappresentazione di p. Esempio: La permutazione 1 2 3 4         1 4 2 3   è di classe pari in quanto i collegamenti: i ______ pi si intersecano due volte.
Definizione di determinante Sia A  M n (R ) , si chiama determinante della matrice A il numero: det (A) = A =
 sign( p)  a
1, p1
 a 2, p2  ⋯  a n , pn
pS n
cioè la somma di tutti i possibili prodotti di n elementi appartenenti a righe e colonne diverse tra loro. Esempio: Calcoliamo il determinante della matrice:  a11 A=  a  21
a12   a 22  
Le permutazioni di S2 sono: 1 2  p=  1 2    
1 2 q=   2 1   
di cui la prima è di classe pari e la seconda di classe dispari. Dunque: det(A) = a1 p1  a 2 p2  sign( p)  a1q1  a 2 q2  sign(q )  a11  a 22  a12  a 21 . Si provi, per esercizio, a calcolare la formula del determinante di una matrice quadrata di ordine 3.
Proprietà dei determinanti
2
Il determinante di una matrice A M n (R ) gode delle seguenti proprietà: t d1 ) A = A ;
d2) Se B è ottenuta scambiando due righe (o colonne) di A, allora B = - A ; d3) Se B è ottenuta da A sommando ad una riga (o colonna) una combinazione lineare delle restanti righe (colonne), allora B = A ; d4) Il determinante di A si annulla se e solo se le righe o le colonne di A sono linearmente dipendenti. Calcolo del determinante con la regola di Laplace Sia A  M n (R ) , si dice complemento algebrico dell’elemento ahk , e si indica con Ahk, il determinante della matrice quadrata di ordine n-1 otte
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