Calcolo tensoriale

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Operatori matriciali su vettori. Operatori matriciali e componenti cartesiane. Operatore identità. Prodotto di uno scalare per un operatore matriciale. Somma di due operatori. Prodotto di due operatori. Operatore trasposto. Traccia di un operatore. Determinante di un operatore: espressione del determinante nel caso di n = 3. Operatore inverso. Operatore complementare. Alcune identità notevoli degli operatori
matriciali: alcune identità notevoli nel caso n = 3. Prodotto scalare fra operatori. Operatori
simmetrici e antisimmetrici: vettore duale associato ad un operatore antisimmetrico, parti simmetrica
e antisimmetrica di un operatore. Parte deviatorica ed isotropa di un operatore. Simboli di
Kronecker e di Levi-Civita e loro relazioni. Operatore di rotazione. Trasformazioni di similitudine ortogonali: invarianti principali di un operatore. Autovalori ed autovettori di un operatore: autovalori ed invarianti delle potenze di un operatore, autovalori ed autovettori per operatori simmetrici, diagonalizzazione di un operatore, teorema di Hamilton-Cayley, relazioni tra invarianti e derivate degli invarianti principali nel caso n = 3. Prodotto tensoriale: rappresentazione semicartesiana di un operatore, autovalori ed autovettori di un prodotto tensoriale nel caso n = 3. Operatori definiti di segno: criterio di Sylvester, operatore radice quadrata di un operatore definito positivo. Teorema polare.

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