Analisi Matematica - Concetti fondamentali

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Concetti fondamentali di analisi matematica. Nozioni di logica matematica; concetto di insieme e le principali operazioni; il principio di induzione; progressione geometrica; fattoriale e coefficienti binomiali; formula del binomio di Newton e il triangolo di Tartaglia; i numeri naturali N, interi Z, razionali Q e reali R; valore assoluto e disuguaglianza triangolare; minimo e massimo, estremo inferiore ed estremo superiore, l’assioma di completezza. Successioni numeriche: Successioni convergenti, divergenti, oscillanti e limitate; regole per il calcolo dei limiti; numeri reali estesi R, 0+ e 0-; forme determinate e indeterminate; infinitesimi e infiniti, confronto tra infinitesimi e tra infiniti; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri, successioni monotone, il numero di Nepero; successioni asintotiche e il principio di sostituzione. Serie numeriche: Serie convergenti, divergenti ed irregolari; criterio necessario per la convergenza; serie a termini non negativi; criterio del confronto e del confronto asintotico, criterio della radice e del rapporto, serie a termini di segno variabili, il criterio di Leibniz, convergenza semplice e convergenza assoluta; serie armonica, armonica generalizzata, geometrica ed esponenziale.
Funzioni reali di una variabile reale: Funzioni iniettive, suriettive, biettive, pari e dispari, periodiche e monotone; funzione inversa; funzioni elementari: polinomi e funzioni razionali, potenza, funzione esponenziale, iperboliche, circolari, grafici; somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni; funzioni monotone e limitate; punti di accumulazione, limiti delle funzioni reali, limite destro e sinistro; regole per il calcolo di limiti; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri per le funzioni; limiti notevoli. Funzioni continue di una variabile: Funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri e dei valori intermedi, il metodo di bisezione; continuità delle funzioni elementari e delle loro inverse:
logaritmi, inverse delle funzioni circolari e iperboliche; funzioni continue su un intervallo chiuso
e limitato: teorema di Weierstraß. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile: Rapporto incrementale; definizione di derivata e significato geometrico, retta tangente; regole di derivazione; derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse; derivazione delle funzioni elementari e delle loro inverse; estremi locali, punti critici e teorema di Fermat; i teoremi di Rolle e di Lagrange; conseguenze del teorema di
Lagrange; funzioni monotone; estremi locali di funzioni derivabili; funzioni con derivata zero;
funzioni lipschitziane; le regole di de l’Hospital; approssimazione lineare di una funzione; il differenziale; le derivate successive; i simboli di Landau; funzioni con contatto di ordine n; polinomio di Taylor e di Mac Laurin; la formula di Taylor con resto di Lagrange e resto di Peano; i polinomi di Taylor delle funzioni elementari; applicazioni del teorema di Taylor: estremi locali, calcolo numerico, confronti asintotici tra funzioni e calcolo dei limiti con il principio di sostituzione, serie di Taylor, sviluppo delle funzioni elementari. Studio di funzione: Estremi locali, zeri, asintoti orizzontali, verticali e obliqui, concavità e convessità, punti di flesso. Calcolo Integrale per funzioni di una variabile: L’integrale di Riemann e significato geometrico; somme inferiori e superiori, caratterizzazione delle funzioni integrabili; classi di funzioni integrabili; proprietà dell’integrale; teorema della media, la funzione integrale e il teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive e integrale indefinito; metodi di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione; integrali impropri e criteri di convergenza; criterio integrale per le serie. Funzioni reali di più variabili: Funzioni reali di più variabili, grafico; norma in Rn e limiti in Rn; funzioni continue di più variabili; derivate direzionali e derivate parziali; gradiente; continuità e derivabilità, approssimazione lineare, piano tangente; funzioni a valori vettoriali: Funzioni di più variabili a valori vettoriali, la Jacobiana, regola della catena, trasformazioni regolari di coordinate: coordinate polari, circolari e sferiche, trasformazioni regolari, invertibilità locale di trasformazioni. Calcolo Integrale per funzioni di più variabili: Integrazione di funzioni di due variabili, integrale di Riemann, misura di un insieme, proprietà dell’integrale, domini semplici e regolari, teorema di Fubini, interpretazione geometrica; cambiamento di variabili, integrazione in coordinate polari; cenno su integrali tripli.

  • Esame di Analisi Matematica 1 docente Prof. K. Engel
  • Università: L'Aquila - Univaq
  • CdL: Corso di laurea magistrale in ingegneria edile - architettura (ordinamento U.E.)
  • SSD:
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Analisi Matematica - Concetti fondamentali
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