Teoria e esercitazioni: Appunti di Analisi matematica II

Appunti di Analisi matematica II per l'esame del prof Nitsch su: Successioni di funzioni. Continuità del limite uniforme di una successione di funzioni. Teorema di passaggio a limite sotto il segno di integrale. Serie di funzioni. Teorema di continuità della somma di una serie uniformemente convergente . Serie totalmente convergenti. Derivazione ed integrazione termine a termine di una serie. Serie di potenze: raggio di convergenza e proprietà . Serie di Taylor e sviluppi notevoli. Funzioni di più variabili - Lo spazio euclideo R2: prodotto scalare e disuguaglianza di Schwarz . Elementi di topologia in R2: insiemi chiusi, aperti, punti di accumulazione e punti di frontiera. Limiti e continuità; teorema di Weierstrass . Calcolo differenziale - Derivate parziali. Differenziabilità; continuità delle funzioni differenziabili; teorema del differenziale . Regola di derivazione delle funzioni composte . Derivate direzionali e gradiente. Derivate di ordine superiore e teorema di Schwarz . Formula di Taylor al secondo ordine. Massimi e minimi relativi di funzioni di due variabili: condizioni necessarie; condizioni sufficienti . Ricerca dei massimi e minimi assoluti. Equazioni differenziali. Problema di Cauchy per equazioni differenziali. Teorema di esistenza e unicità globale , teorema di esistenza e unicit?? locale . Generalit?? sulle equazioni differenziali lineari, equazioni differenziali lineari del primo e del secondo ordine. Equazioni lineari a coefficienti costanti. Il metodo di Lagrange. Equazioni a variabili separabili. Curve e integrale curvilineo. Curve regolari e generalmente regolari; retta tangente. Lunghezza di un arco di curva; teorema di rettificabilità delle curve regolari ; ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Forme differenziali - Forme differenziali lineari e relativo integrale curvilineo. Forme differenziali esatte. Integrale curvilineo di una forma differenziali esatta. I criterio di integrabilità . Forme differenziali chiuse. II criterio di integrabilità delle forme differenziali. Lemma di Poincarè . Integrali doppi e tripli- Integrali su domini normali. Integrabilità delle funzioni continue . Formule di riduzione . Cambiamento di variabili . Formule di Gauss-Green . Teorema della divergenza e la formula di Stokes nel piano. Integrali di superficie - superfici regolari; integrali superficiali; il teorema della divergenza; formula di Stokes nello spazio

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