Risposte alle domande, Statistica

Appunti di Statistica per l'esame della professoressa Ladelli

Obbiettivi

Scopo del corso e' quello di fornire all'allievo i modelli matematici e le tecniche statistiche di base per affrontare problemi ingegneristici inerenti ai fenomeni casuali.


Programma

1. Probabilita'. Definizione assiomatica di probabilita'; spazio dei campioni, eventi, probabilita'. Proprieta' della funzione di probabilita'. Probabilita' condizionata e indipendenza stocastica. Formule delle probabilita' totali e di Bayes, regola del prodotto. Prove di Bernoulli. Esempi ed applicazioni.

2. Variabili aleatorie. Variabili aleatorie e funzione di ripartizione. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue e loro funzioni di densita'. Valore atteso e varianza; deviazione standard. ``Failure rate''. Esempi di distribuzioni notevoli: distribuzione uniforme discreta, di Bernoulli, binomiale, geometrica, di Poisson, ipergeometrica, uniforme continua, esponenziale, gamma, normale; loro principali proprieta' e applicazioni. Funzione di una variabile aleatoria: metodo della funzione di ripartizione. Proprieta' di valore atteso e varianza. Momenti di una distribuzione. Disuguaglianza di Chebichev. Trasformazioni affini di variabili aleatorie; loro effetto su media, varianza e densita'; standardizzazione di una variabile aleatoria. Funzione generatrice dei momenti e sue proprieta'. Esempi e applicazioni.

3. Vettori aleatori. Vettore aleatorio; funzione di ripartizione congiunta e funzioni di ripartizione marginali. Densita' assolutamente continue e densita' discrete congiunte e marginali. Indipendenza di variabili aleatorie; vettori aleatori indipendenti. Cenni alle funzioni di vettori aleatori. Funzioni di vettori aleatori discreti e congiuntamente continui: metodo della funzione di ripartizione. Trasformazioni affini. Somma di variabili aleatorie; convoluzione discreta e continua. Somma di variabili aleatorie di Poisson indipendenti, di gamma indipendenti, di normali indipendenti. Valore atteso di una funzione di variabili aleatorie. Valore atteso della somma di variabili aleatorie. Media della binomiale e dell'ipergeometrica. Valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie indipendenti. Covarianza e coefficiente di correlazione lineare; loro proprieta'. Varianza della somma di variabili aleatorie. Applicazione: calcolo della varianza della distribuzione binomiale. Media campionaria, suo valore atteso e sua varianza; varianza campionaria e suo valore atteso.

Legge debole dei grandi numeri. Teorema centrale del limite; esempi, conseguenze, approssimazione normale. Matrice di covarianza. Cenni alle normali multivariate. Esempi e applicazioni.

4. Distribuzioni campionarie per popolazioni gaussiane. Distribuzione congiunta di media e varianza campionarie per un campione gaussiano. Distribuzioni chi-quadrato, t di Student, F di Fisher.

5. Teoria della stima. Statistiche e stimatori. Metodo dei momenti e metodo di massima verosimiglianza per la costruzione di stimatori puntuali. Errore quadratico medio. Proprieta' esatte e asintotiche degli stimatori: non distorsione, non distorsione asintotica, consistenza, normalita' asintotica. Intervalli di confidenza e metodo della quantita' pivotale. Intervalli di confidenza per media e varianza di popolazioni gaussiane. Esempi ed applicazioni.

6. Verifica delle ipotesi. Ipotesi statistiche, semplici e composte; errori di primo e secondo tipo; regione critica, statistica test, livello di significativita' del test, funzione potenza, p-value. Test z, t, chi-quadro e F; altri esempi di test parametrici. Connessioni fra prova delle ipotesi e intervalli di confidenza. Intervalli di confidenza e test di ipotesi per la media di popolazioni non gaussiane nel caso di grandi campioni. Esempi ed applicazioni: inferenza asintotica per popolazioni bernoulliane.

7. Metodi non parametrici. Test chi-quadro di buon adattamento e di indipendenza. Test di Kolmogorov-Smirnov; test di normalita'.

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Dolceck di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica e calcolo delle probabilità e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Ladelli Lucia Maria.
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  • 31-10-2014
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