Appunti Metodi Matematici, prof. Claudia Meo

Appunti di Metodi matematici per l'economia per l'esame della professoressa Meo su: Cenni di teoria degli insiemi: nozione di insieme; descrizione di un insieme; uguaglianza tra insiemi;
inclusione; insieme delle parti; operazioni tra insiemi (unione, intersezione, differenza, complementazione);
prodotto cartesiano.
Insiemi numerici: numeri naturali (enunciato ed applicazioni del principio di induzione), relativi, razionali,
irrazionali, reali. Struttura algebrica e struttura d’ordine, compatibilità tra le due strutture. Valore assoluto
di un numero reale. Operazione di logaritmo e sue proprietà.
Retta reale e sue proprietà: rappresentazione geometrica dei numeri reali. Intervalli. Sottoinsiemi di R:
massimo e minimo, maggioranti e minoranti, limitatezza superiore ed inferiore, estremo superiore ed
inferiore.
Richiami su equazioni e disequazioni.
Elementi di geometria analitica: piano e coordinate cartesiane; distanza di due punti; equazione di un
luogo geometrico, della retta, della circonferenza, della parabola. Interpretazione del coefficiente angolare
di una retta; retta per due punti; rette parallele e perpendicolari; distanza di un punto da un retta;
intersezione di rette.
Lo spazio Rn: vettori; operazioni tra vettori (somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare,
combinazioni lineari di vettori). Equazione parametrica della retta. Equazione del segmento. Insiemi
convessi. Convessità delle soluzioni di una disequazione lineare (con dimostrazione). Caratterizzazione
delle soluzioni di una disequazione lineare in due variabili ax+by+c>0 (con dimostrazione).
Matrici e sistemi lineari: definizione di matrice; operazioni tra matrici e relative proprietà; matrice unitaria;
matrice trasposta; matrici quadrate; inversa di una matrice quadrata; unicità della matrice inversa (con
dimostrazione); operazioni elementari sulle righe di una matrice; determinante di una matrice quadrata e
sue proprietà (con dimostrazione delle due proprietà seguenti: il determinante di una matrice con due
righe uguali è nullo; la somma dei prodotti tra gli elementi di una riga e i complementi algebrici di una riga
distinta dalla precedente è zero) ; matrici invertibili e determinante (dimostrazione del teorema det(A)≠0
se e solo se A è invertibile e A-1=1/|A|∙((A*)t). Definizione di rango come ordine massimo dei minori non
nulli. Calcolo del rango di una matrice mediante la definizione e mediante il teorema degli orlati. Riduzione
di una matrice a forma canonica. Teorema fondamentale sulle matrici (con dimostrazione). Sistemi di m
equazioni lineari in n incognite; matrice dei coefficienti e matrice completa; sistemi omogenei; sistemi
compatibili, incompatibili, determinati, indeterminati. Il metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione
di sistemi di m equazioni in n incognite. Il teorema di Rouchè-Capelli (con dimostrazione). Il caso dei sistemi
quadrati: inversa e formula risolutiva per un sistema quadrato con determinante diverso da zero (con
dimostrazione); il teorema di Cramer (con dimostrazione). Risoluzione di sistemi omogenei. Sistemi lineari
con parametro: discussione della compatibilità.
Il concetto di relazione e di funzione: definizioni ed applicazioni economiche.
Funzioni reali di variabile reale: grafico e rappresentazione grafica; operazioni tra funzioni; funzioni
iniettive, suriettive, biiettive; funzioni invertibili; funzioni elementari (lineari, lineari affini, quadratiche,
potenza, esponenziali, logaritmiche); funzioni composte; funzioni limitate; funzioni monotone; estremanti
relativi ed assoluti di una funzione.
Limiti e continuità: definizione di limite; limiti delle funzioni elementari. Teorema di unicità del limite (con
dimostrazione) e della permanenza del segno (con dimostrazione). Operazioni con i limiti. Forme
indeterminate. Limiti notevoli. Funzioni continue: continuità delle funzioni elementari, continuità delle
funzioni composte da funzioni elementari, esempi di funzioni non continue. Teorema di Bolzano (con
dimostrazione). Teorema di Weierstrass. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui.
Calcolo differenziale per funzioni in una variabile: rapporto incrementale e sua interpretazione
geometrica; derivata e sua interpretazione geometrica; equazione della retta tangente; derivate delle
funzioni elementari; algebra delle derivate; derivate di funzioni composte; derivate di ordine successivo;
continuità delle funzioni derivabili in un punto (con dimostrazione); esempio di funzione continua ma non
derivabile. Applicazioni del calcolo differenziale allo studio della monotonia, al calcolo di limiti (teorema di
de l’Hospital), alla soluzione di problemi di ottimizzazione (teorema di Fermat con dimostrazione,
condizione sufficiente di ottimalità di ordine n). Determinazione del codominio di una funzione; studio del
grafico di una funzione.
Funzioni reali di due variabili reali: dominio, grafico, curve di livello con applicazioni economiche; derivate
parziali: definizione, calcolo ed interpretazione geometrica; gradiente; differenziale; piano tangente al
grafico della funzione in un punto. Teorema di Bolzano (con dimostrazione) con applicazioni al calcolo del
codominio di una funzione in due variabili; soluzione di problemi di ottimizzazione libera e vincolata con
applicazioni economiche; teorema di Weierstrass, teorema di Fermat, condizione sufficiente del secondo
ordine tramite l’hessiano. Cenni alla risoluzione di problemi di programmazione lineare mediante le curve
di livello.

  • Esame di Metodi matematici docente Prof. C. Meo
  • Università: Napoli Federico II - Unina
  • CdL: Corso di laurea in economia e commercio
  • SSD:
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  • 02-02-2015
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