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Esperimento della sequenza del piccolo Gauss

Nel suo Il pensiero produttivo, Wertheimer cita un aneddoto riguardante Carl Friedrich Gauss. Quando, all’età di sei anni, il piccolo genio matematico frequentava la scuola elementare, si trovò un giorno ad affrontare un compito di
aritmetica che consisteva nel trovare il più velocemente possibile la somma di
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10. Subito dopo aver preso visione del problema, Gauss alzò la mano, comunicando all’insegnante di aver trovato il risultato. Questi, stupito, chiese come avesse fatto a risolvere così velocemente l’operazione e il bambino rispose: “Se l’avessi fatto sommando 1 più 2, poi 3 al risultato, poi 4 al nuovo risultato, e così via, avrei impiegato molto tempo, e cercando di arrivare presto molto probabilmente avrei fatto degli sbagli. Ma vedete, 1+10 fa undici, 2+9 fa di nuovo – deve fare? – undici. E così via. Vi sono cinque coppie di questo tipo: 5 volte 11 fa 55”. Al di là della veridicità o meno dell’aneddoto, esso rappresenta, secondo Wertheimer, un esempio eccellente di ristrutturazione gestaltica di un problema. La semplice logica matematica, infatti, non è sufficiente a spiegare l’operazione compiuta da Gauss, che consiste nell’intuire l’esistenza di una relazione tra la somma algebrica e il fatto che la sequenza numerica progredisce a intervalli costanti. Il comune procedimento aritmetico, in altri termini, consiste in una sommatoria dei numeri mentre la “visione” di Gauss coglie l’intera struttura del problema e gli permette di accorgersi che la somma della coppia formata dal primo e dall’ultimo numero [1+10], quella del secondo e del penultimo numero [2+9], quella del terzo e del terz’ultimo [3+8] e così via è sempre 11. Per conoscere il totale dell’operazione, dunque, basta moltiplicare il numero delle coppie (dato dalla metà di tutti i numeri compresi nella sequenza) per 11: 10:2=5x11=55.

Wertheimer propose la “serie di Gauss” nel corso di vari esperimenti con bambini e i risultati non furono confortanti: “Un buon numero di bambini che erano particolarmente bravi in aritmetica nella loro scuola, si dimostrarono completamente ciechi di fronte al problema, e cominciarono immediatamente a fare i loro tediosi calcoli, oppure chiesero di essere dispensati da questo compito gravoso; non osservarono per nulla la situazione nel suo insieme. A dir la verità quando li aiutai a vedere la situazione, chiaramente mostrarono di vergognarsi ed esclamarono: ‘Che tonto sono stato! Che stupido!’. Queste esperienze mi ricordarono una quantità di esperienze più serie che nelle scuole mi avevano preoccupato. Esaminai a fondo più accuratamente i metodi, i modi comuni di insegnare l’aritmetica, i libri di testo, i libri di psicologia specifici su cui quei metodi erano basati. Una ragione della difficoltà divenne sempre più chiara: l’importanza data alla ripetizione meccanica, alla ‘risposta istantanea’, alla formazione di abitudini cieche, analitiche. La ripetizione è utile, l’uso continuo della ripetizione meccanica però produce effetti dannosi. È pericoloso perché provoca facilmente l’abitudine ad azioni stereotipate, la cecità, la tendenza ad eseguire come schiavi quello che è stato insegnato invece di pensare, invece di affrontare il problema liberamente”. Wertheimer propone in conclusione del suo libro una tavola riassuntiva delle prerogative del pensiero produttivo. Il pensiero consiste: Nel vedere, nel rendersi conto delle caratteristiche strutturali e delle esigenze della struttura; nel procedere in accordo con queste esigenze e nel farsi guidare da esse; nel cambiare quindi la situazione nella direzione di miglioramenti strutturali.
Questo comporta:
- che delle lacune, delle zone di difficoltà,perturbazioni, superficialità, ecc., vengano viste e trattate strutturalmente;
- che le relazioni strutturali interne, adattate o meno, vengano cercate in mezzo a tali disordini e nella situazione nel suo insieme e tra le sue parti; - che vi siano operazioni strutturali di raggruppamento e segregazione, di centramento,
ecc.;
- che le operazioni vengano viste e trattate nella loro posizione strutturale, nel loro ruolo, nel loro significato dinamico, compresa l’accettazione deicambiamenti che questo comporta;
- nel comprendere la trasponibilità strutturale, la gerarchia di struttura, e nel separare le caratteristiche strutturalmente periferiche da quelle fondamentali.

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