Daniele di Daniele
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[math]C\left(0,\frac{3}{2}\right)[/math]

equazione della parabola:
[math]y=\frac{9-x^2}{6}=g\left(x\right)[/math]

equazione della circonferenza:
[math]x^2+y^2=9[/math]
\\
1) r:
[math]y-g\left(3\right)=g'\left(3\right)\left(x-3\right)[/math]
\\
[math]y-\frac{9-9}{6}=-\frac{6}{6}\left(x-3\right)[/math]
\\
[math]y=-x+3[/math]
\\
[math]R_2=\frac{1}{4}[/math]
Area del cerchi - Area del triangolo
[math]=\frac{1}{4}\left(\pi\right)-\frac{1}{2}\cdot3\cdot3=[/math]

[math]\frac{9\pi}{4}-\frac{9}{2}=\frac{9}{4}\left(\pi-2\right)[/math]

[math]R_1=[/math]
Area triangolo AOB - Area settore parabolico AOC
[math]=\frac{9}{2}-\int_0^3\frac{1}{6}\left(9-x^2\right)dx=\frac{9}{2}-\frac{1}{6}\left[9x-\frac{x^3}{3}\right]_0^3=[/math]

[math]\frac{9}{2}-\frac{1}{6}\left[27-9\right]=\frac{9}{2}-\frac{18}{6}=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}[/math]

2)

[math]W=\int_0^3e^{5-3x}dx=\left[-\frac{1}{3}e^{5-3x}\right]_0^3=-\frac{1}{3}\left[e^{-4}-e^5\right][/math]

[math]-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{e^4}-e^5\right)=\frac{e^9-1}{3e^4}[/math]

3)
Volume relativo R = Volume semi sfera - volume relativo a

[math]R_3=\frac{2}{3}\cdot
3^3-\pi\int_0^3\left(\frac{9-x^2}{6}\right)^2dx=[/math]

[math]18\pi-\frac{\pi}{36}\int_0^3\left(81-18x^2+x^4\right)dx=[/math]

[math]18\pi-\frac{\pi}{36}\left[81x-6x^3+\frac{x^5}{5}\right]_0^3=\\ 18\pi-\frac{\pi}{36}\left[243-162+\frac{3^5}{5}\right]=[/math]

[math]18\pi-\frac{\pi}{36}\left[3^4+\frac{3^5}{5}\right]=18\pi-\frac{\pi}{36}\cdot3^4\left[\frac{5+3}{5}\right]=[/math]

[math]18\pi-\frac{\pi}{4}\cdot9\cdot\frac{8}{5}=18\pi-\frac{18}{5}\pi=\frac{72}{5}\pi[/math]

4) Se

[math]C(a,b)[/math]
è il centro di una delle circonferenze, la condizione di tangenza con l'asse x implica
[math]r=b[/math]
per il raggio. L'equazione risulta

[math](x-a)^2+(y-b)^2=b^2[/math]
e quindi
[math]x^2+y^2-2ax-2by+a^2=0[/math]

Imponendo la condizione di tangenza con l'altra circonferenza di equazione

[math]x^2+y^2=9[/math]
si ha la condizione

[math]2ax+2by=a^2+9[/math]

e quindi

[math]x=\frac{a^2+9-2by}{2a}[/math]
. Sostituendo nell'equazione precedente si trova

[math]y^2+\frac{(a^2+9)^2+4b^2y^2-4by(a^2+9)}{4a^2}=9[/math]

[math]4(a^2+b^2)y^2-4b(a^2+9)y+(a^2+9)^2-36a^2=0[/math]

e imponendo la condizione di tangenza

[math]16b^2(a^2+9)^2-16(a^2+b^2)[(a^2+9)^2-36a^2]=0[/math]

[math]-a^2(a^2+9)^2+36a^2(a^2+b^2)=0[/math]

[math]-a^4-81-18a^2+36a^2+36b^2=0[/math]

[math]-(a^2-9)+36b^2=0[/math]

da cui

[math]a^2-9=\pm 6b[/math]

e quindi, scegliendo la soluzione negativa, l'equazione della parabola. (Sostituendo a e b con x e y).

Per determinare la circonferenza tangente alla circonferenza di equazione

[math](x-3)^2+y^2=9[/math]
, osserviamo che essa risulta posta in posizione simmetrica rispetto alle due circonferenze grandi. Questo implica che il suo centro si trovi esattamente sull'asse di simmetria delle due, e quindi
[math]a=3/2[/math]
, da cui
[math]b=9/4[/math]
e quindi la circonferenza risulta

[math](x-3/2)^2+(y-9/4)^2=81/16[/math]

[math]x^2+y^2-3x-9/2 y+9/4=0[/math]

e quindi

[math]4x^2+y^2-12x-18y+9=0[/math]

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