Daniele di Daniele
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1. Sia

[math]T[/math]
il periodo della funzione
[math]g[/math]
: allora si ha
[math]g(x+T)=g(x)[/math]
per ogni
[math]x\in\mathbb{R}[/math]
. Dunque

[math]\sin\left(\frac{3\pi}{2} x+\frac{3\pi}{2} T\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2} x\right),[/math]

e posto

[math]y=\frac{3\pi}{2} x[/math]
,
[math]P=\frac{3\pi}{2} T[/math]

[math]\sin(y+P)=\sin(y)\ \Rightarrow\ P=2\pi\ \Rightarrow\ T=\frac{4}{3}.[/math]

Studiamo le due funzioni:

[math]Dom(f)=Dom(g)=\mathbb{R}.[/math]

Inoltre

[math]lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty,\qquad m=\lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}=\pm\infty,[/math]

e quindi non ci sono asintoti obliqui. Scrivendo poi

[math]f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
27 x^3 & & x\geq 0\\ -27 x^3 & & x<0
\end{array}\right.[/math]

si ha

[math]f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
81 x^2 & & x\geq 0\\ -81 x^2 & & x<0
\end{array}\right.[/math]

e quindi

[math]f'(x)\ge 0[/math]
se e solo se
[math]x\ge 0[/math]
, per cui la funzione cresce su
[math](0,+\infty)[/math]
, decresce su
[math](-\infty,0)[/math]
ed ha un minimo assoluto in
[math]O(0,0)[/math]
dove presenta un punto angoloso. Inoltre

[math]f''(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
162 x & & x\geq 0\\ -162 x & & x<0
\end{array}\right.[/math]

per cui

[math]f''(x)\ge 0[/math]
per ogni
[math]x\in\mathbb{R}[/math]
.


Per la funzione

[math]g[/math]
, osserviamo che
[math]g'(x)=\frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2} x\right)\geq 0,[/math]

se e solo se

[math]0\leq \frac{3\pi}{2} x\leq \frac{\pi}{2},\qquad \frac{3\pi}{2}\le\frac{3\pi}{2} x\leq 2\pi,[/math]

e quindi

[math]0\leq x\leq \frac{1}{3},\qquad 1\leq x\leq \frac{4}{3},[/math]

pertanto i punti

[math]A(1/3,1)[/math]
e
[math]B(1,-1)[/math]
sono, rispettivamente, massimo e minimo assoluto.

Si ha poi

[math]g''(x)=-\frac{9\pi^2}{4}\sin\left(\frac{3\pi}{2} x\right)\geq 0,[/math]

se e solo se

[math]\pi\leq\frac{3\pi}{2} x\leq 2\pi\ \Rightarrow\ \frac{2}{3}\leq x\leq \frac{4}{3},[/math]

e quindi la funzione presenta flessi nei punti

[math]O(0,0),\ C(2/3,0),\ D(4/3,0)[/math]
.

Il grafico delle funzione è riportato in figura seguente.

2. Se

[math]P(x_0,F(x_0))[/math]
è il punto dove determinare la tangente alla curva
[math]y=F(x)[/math]
allora usiamo la formula
[math]y-F(x_0)=F'(x_0)(x-x_0).[/math]

Abbiamo allora

[math]y-f(1/3)=f'(1/3)(x-1/3)\ \Rightarrow\ y-1=81(1/9)(x-1/3)\ \Rightarrow\ y=9x-2,[/math]

[math]y-g(1/3)=g'(1/3)(x-1/3)\ \Rightarrow\ y-1=(3\pi/2)(\cos(\pi/2))(x-1/3)\ \Rightarrow\ y=1.[/math]

Le due rette sono allora

[math]y=9x-2,\qquad y=1,[/math]

e l'angolo da esse formato, essendo la seconda parallela all'asse x, coincide con l'angolo della prima: valendo la condizione

[math]m=\tan\alpha[/math]
, dove
[math]m[/math]
è il coefficiente angolare mentre
[math]\alpha[/math]
l'angolo formato dalla retta con l'asse x, abbiamo
[math]9=\tan\alpha\ \Rightarrow\ \alpha=\arctan 9=88,66^\circ=88^\circ\ 34'.[/math]



3. Calcoliamo l'area usando l'integrazione: dal momento che il punto di intersezione delle curva è

[math]A(1/3,1)[/math]
allora
[math]S=\int_0^{1/3}[g(x)-f(x)]\ dx=\int_0^{1/3}\left[\sin\left(\frac{3\pi}{2} x\right)-27 x^3\right]\ dx=[/math]

[math]=\left[-\frac{2}{3\pi}\cos\left(\frac{3\pi}{2} x\right)-\frac{27}{4} x^4\right]_0^{1/3}=[/math]

[math]=-\frac{2}{3\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{27}{4}\cdot\frac{1}{81}+\frac{2}{3\pi}\cos 0+0=[/math]

[math]=-\frac{1}{12}+\frac{2}{3\pi}=\frac{8-\pi}{3\pi}.[/math]



4. Se

[math]y=f(x),\ x=F(y)[/math]
sono una funzione inversa dell'altra, in modo che
[math](x_0,y_0)[/math]
è il punto per cui
[math]y_0=f(x_0),\ x_0=F(y_0)[/math]
, allora i volumi dei solidi di rotazione, rispettivamente rispetto all'asse x e all'asse y si trovano usando gli integrali

[math]V_x=\pi\int_0^{x_0} [f(x)]^2\ dx,\qquad V_y=\pi\int_0^{y_0}[F(y)]^2\ dy.[/math]

Pertanto abbiamo

[math]V_x=\pi\int_0^{1/3}\left\{[g(x)]^2-[f(x)]^2\right\}\ dx,[/math]

[math]V_y=\pi\int_0^1\left\{[F(y)]^2-[G(y)]^2\right\}\ dy,[/math]

dove

[math]F,G[/math]
sono, rispettivamente, le funzioni inverse di
[math]f,g[/math]
.

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