Daniele di Daniele
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1)

[math] \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty[/math]

[math] \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty[/math]

[math] f(x) + f(-x) = 2\log 4 + \frac{2}{e^x + 1} + \frac{2}{e^{-x} + 1} = \\

2 \log 4 + \frac{2}{e^x + 1} + \frac{2e^x}{e^x + 1} = 2(\log 4 + 1)[/math]

Il punto medio su [-x, x] risulta avere coordinate:

[math]\(0, \frac12 [ f(x) + f(-x)]\) = A[/math]
che quindi è il centro di simmetria.


2)

[math] f(x) = m[/math]
poniamo:

[math]g_m = f(x) - m[/math]

Poichè Dom

[math](g_m) = \mathbb{R}[/math]

[math]\lim_{x \to \pm \infty} f(x)[/math]

Inoltre:

[math] g'_m(x) = 1 - \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac {e^{2x} + 2e^x + 1 - 2e^x}{(e^x + 1)^2}= \frac {e^2x + 1}{(e^x + 1)^2} > 0 \\ \forall x \in Dom (g) [/math]

Ne segue che la funzione

[math]g_m[/math]
è sempre crescente per cui esiste un unico
[math] C \in (-\infty , +\infty)[/math]
tale che
[math] g_m (C) = 0 \to f(c) = m[/math]

Se:

[math] f(x) = 3 \ \ \ e \ \ \ f(-x) = m \to f(x) + f(-x) = 3 + m = 2\log 4 + 1) \to m = 2\log 4 - 1[/math]


3)

[math] f(x) = x + \log4 + \frac{2}{e^x + 1} = \\ x + \log 4 + \frac {2 (e^x + 1) - 2e^x}{e^x + 1} = \\ x + 2 + \log4 - \frac {2e^x}{e^x + 1}[/math]

[math] m = \lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to + \infty} \( 1 + \frac {\log4}{x} + \frac{2}{x(e^x + 1)\) = 1[/math]

[math] q = \lim_{x \to + \infty} [ f(x) - x ] = \lim_{x \to + \infty} \[ \log4 + \frac{2}{e^x + 1}\] = \log4[/math]

[math] y = x + \log4[/math]
asint.
[math]a + \infty[/math]

[math]\lim_{x \to - \infty} \ \ \ \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to - \infty} [ 1 + \frac{\log4}{x} + {2}{x(-e^x + 1)] = 1[/math]


[math] q = \lim_{x \to - \infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to - \infty} \[ \log4 + 2 - \frac{2e^x}{e^x + 1}\] = 2 + \log4[/math]

[math] y = x + 2 + \log4[/math]
asint. a
[math]- \infty[/math]


[math] f(x) - (x + \log4) = \frac{2}{e^x + 1} > 0[/math]

[math] f(x) - (x + 2 + \log4) = -\frac{2e^x}{e^x + 1} < 0 \to x + \log4 < f(x) < x + 2 + \log4[/math]

4)

[math] I (\beta) = \int_{0}^{\beta} | \frac{2}{e^x + 1}| dx = \\ \int_{0}^{\beta} \frac{2}{e^x + 1} dx[/math]

posto:
[math] e^x = f \\ x = \log f \\ dx = \frac{df}{f}[/math]

per cui:

[math] x = 0 \ \ \ f = 1 \\ x = \beta \ \ \ f = e^\beta[/math]

[math]\int_{1}^{e^\beta} \frac{2}{f(f + 1)} \ dt =[/math]

[math]\int_{1}^{e^\beta} 2 (\frac{1}{f} - \frac{1}{f + 1}) \ dt =[/math]

[math] 2 \[\log f - \log (f + 1)\]_{1}^{e^\beta} = 2[\log \frac{f}{f + 1}]_{1}^{e^\beta}[/math]

[math] 2 \log \(\frac{e^\beta}{e^\beta + 1}\) - 2\log (\frac12) = 2\log \(\frac{e^\beta}{e^\beta + 1}\) + 2\log2[/math]

[math] I (\beta)[/math]
rappresenta l'area compresa tra
[math] f(x)[/math]
e la retta
[math] y = x + \log4[/math]
con
[math]x \in [0, \ \beta][/math]
: per
[math]\beta \to + \infty[/math]
; il limite rappresenta tutta l'area per
[math] x \in (0, \ + \infty)[/math]

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