Infinito tra creatività e razionalità

Tesina di maturità sull'infinito, tra creatività artistica e razionalità matematica. Il percorso studia il concetto di infinito a partire dalla concezione astronomica di universo fino ai paradossi matematici di Cantor

E io lo dico a Skuola.net

L'infinito tra creatività artistica e razionalità matematica
* L'infinito nella concezione dell'universo (geografia astronomica).
* L'infinito per i romantici ed il sublime di natura (storia dell'arte).
* Gli esiti inquietanti del senso di sublime ed infinito in Blake (inglese).
* L'infinito come realtà assoluta dai pre-romantici agli idealisti (filosofia).
* L'infinito potenziale e spazio-temporale in Leopardi (italiano).
* Dai paradossi dell'infinito al transfinito di Cantor (matematica).

L’approccio all'infinito rappresenta una delle più affascinanti avventure dell'intelletto umano, nonostante nella realtà fenomenologica che ci circonda sembri non esservi spazio per tale concezione. Sia Zichichi che Radice, noti fisici italiani, sos-tengono che da sempre l'uomo ha sentito l'esigenza di sentirsi parte di questo in-finito e, se in ambito artistico-letterario questa ansia è stata tradotta in modo molto efficace , dal punto di vista scientifico ( teorie matematiche ed astronomiche ) ha incontrato parecchi ostacoli ( paradossi ) che tuttavia non hanno impedito l’elaborazione più completa di tale concetto .
In astronomia, ad esempio, l'idea di infinito ha spesso accompagnato l’idea del cosmo, ma solo negli ultimi tempi si è potuta comprendere meglio, grazie all'utilizzazione di strumenti di misurazione delle stelle e delle galassie prima inesistenti. Dopo una primordiale definizione di Universo come sfera finita ( cioè la forma più perfetta ) nel cui centro è posta la terra, definizione data da Aristotele nel "De caelo" e fondata più su presupposti teorici che su osservazioni, sia Copernico che Keplero sostennero la tesi vincente di un Universo incentrato nel sole, fisso ed immobile, fuoco di orbite ellittiche percorse dai pianeti. Newton in seguito diede un’altra definizione di Universo. Infatti, attraverso la definizione della legge di gravitazione universale, suppose il cosmo infinito, in avvicinamento o in allontanamento, e privo di un centro gravitazionale comune (e questo è uno dei trabocchetti nel pensare l’universo infinito: essendo potenzialmente ciascuna stella il centro gravitazionale, le forze attrattive finiscono necessariamente per annullarsi). A questa infinità spaziale veniva accostata un'infinità temporale: secondo tale teoria pertanto l'universo sarebbe stato eterno. Oggi però sappiamo che le cose non stanno proprio così: già Einstein nel 1916 comprese che lo spazio era finito perché la gravitazione delle galassie finite faceva contrarre lo spazio, ma solo nel 1929 Edwin Hubble riuscì a dimostrare che l'universo è in espansione, prendendo in considerazione l’effetto Doppler, fenomeno fisico che, dalla variazione delle lunghezze d’onda dovuta alla loro distanza dalla sorgente sonora, permette di capire se un corpo (nel nostro caso le galassie) è in avvicinamento o in allontanamento. In base al colore assunto dai gas emessi dalle galassie sullo spettro a righe di assorbimento si comprende il loro movimento: se tende al rosso, la lunghezza d‘onda è maggiore e la galassia si allontana, se tende al violetto essa si avvicina. Hubble dimostrò che le galassie si allontanano a velocità maggiore quanto maggiore è la loro distanza (moto uniformemente accelerato). Le conseguenze collegate all’espansione delle galassie sarebbero due:
1. L'universo in passato doveva essere più piccolo e quindi spazialmente finito;
2. L'universo aveva avuto anche un momento iniziale temporale.
La teoria del Big-Bang (termine in realtà coniato in senso spregiativo dai sostenitori dell'universo stazionario come Hoyle), basata sul modello proposto da Friedmann, ma esposta da George Gamow solo nel 1946 , spiegava appunto l'origine dell'universo come un'iniziale palla di fuoco, a densità e temperature straordinarie (uovo cosmico), esplosa all'improvviso con una potenza inaudita. La luce generata dall‘esplosione sarebbe tuttora rilevabile in quella ”radiazione di fondo“ o “fossile“ di cui è impregnato l'universo e che è il residuo delle onde elettromagnetiche ancora presenti ai confini del cosmo. La teoria dell'universo nato dal Big-Bang riusciva anche a risolvere il problema della disomogenità della distribuzione della materia (grandi spazi vuoti accanto a grandi ammassi stellari di materia), a causa delle fluttuazioni casuali intervenute nei primi tre minuti di vita dell'universo. Inoltre, supponendo che non tutta l’energia si fosse esaurita durante il Big-Bang, si risolvevano anche le contraddizioni dell'età dell'universo (che apparirebbe di 18 miliardi di anni in alcuni punti contro una media di circa 13-15 miliardi di anni) attraverso l'energia del vuoto primordiale in parte rimasta fino a provocare una seconda inflazione. Tra le ipotesi successive alla teoria del Big-Bang c‘è quella dell’ esistenza di infiniti universi. Infatti il processo d’inflazione non è uniforme perché dal vuoto originario si sarebbero formate piccole bolle di nuovo vuoto che espandendosi successivamente avrebbero originato nuovi universi collegati fra di loro mediante cunicoli (wormhole) spazio-temporali. Si comprende allora come il problema dell’infinito nella realtà dell’universo non sia comunque , attraverso tutte queste conclusioni, completamente negato , ma soltanto riportato ad una prospettiva più ampia, quella cioè di una serie infinita di universi per noi incomprensibili, in mancanza di quelle leggi spazio-temporali fondamentali e regolatrici dell’attività del nostro universo.

E’ ovvio che il raggiungimento di tali straordinarie deduzioni, come precedentemente accennato, ha richiesto uno studio e un impegno notevoli nell’arco di diversi secoli. Ma da un punto di vista non astro-fisico, un secolo in particolare, l'Ottocento, fu particolarmente interessato all’analisi dell’infinito in tutti i campi della cultura (lettera-tura, filosofia, arte, matematica), specialmente nell'Età Romantica, che privilegiò sopra tutti tale argomento. Nella storia dell’arte il Romanticismo si configura come il periodo della libertà e del rifiuto del razionalismo, in cui viene elaborata la figura del "genio" con assoluto predominio della soggettività e in cui la natura viene rivissuta in termini panteistici, come forza creatrice. E’ qui che si manifesta, attraverso l'idea del soprannaturale e la contemplazione della spettacolarità di molteplici fenomeni fisici e geologici , il concetto di “sublime”. Il sublime, secondo la definizione del suo teorico Edmund Burke: ” when operates most powerfully, causes astonishment, and astonishment is that state of the soul in which all its motions are suspended“. Così , di fronte ad un furioso uragano, scaturisce nello spirito di Turner il senso dell'infinito e in Friedrich, dalla visione immobile del mare, la fascinazione dell'eterno. E a questo senso d'infinità della natura contribuisce nel quadro anche la scelta compositiva per cui al cielo o al mare vengono generalmente riservati i tre quarti del dipinto, a dimostrazione della grandezza e superiorità irraggiungibile della natura, nella sua ambivalenza di madre benigna ispiratrice di meditazioni profonde e spirituali, e di entità astratta e indifferente all‘uomo che quindi non può che provare angoscia e ansia, come nell'“Incubo“ di Fussli o nel visionarismo inquietante di Blake. Quest'ultimo emerge non solo dai suoi dipinti ma anche dai suoi “Songs of experience”, una combinazione di parole e immagini (attraverso il metodo dell'“il-luminated printing“) dove il senso dell'energia cosmica, infinita e vitale della tigre, metafora dell'uomo, risulta l'opposto complementare del senso di purezza e d'innocenza Dell'agnello, anch'esso metafora dell'uomo. La stessa ambivalenza della natura si manifesta nell'uomo parte di un tutto organico e nel suo dualismo (“Did he who made the Lamb make thee?“).
Il senso dell'infinito che regola la vita dell'uomo, ma che anche lo paralizza, di una Natura mossa da forze misteriose e contrapposta all'idea illuministica di una natura ordinata, della perdizione del singolo, Uno, nel Tutto (Eins und Alles), tutto ciò aveva costituito anche l'interesse degli Sturmer, come Schiller o Goethe. Un termine come Sensucht (struggimento), ossia il desiderio irrealizzabile, ha le sue radici proprio nel senso di un infinito che ci pervade ma che purtroppo siamo destinati a non conoscere. La filosofia deve tentare di dimostrare la connessione all'infinito di tutto ciò che è finito e a noi evidente, mentre l'arte deve realizzare tale connessione. La Sehnsucht, tanta citata dai filosofi preromantici, è più di una nostalgia dell'infinito (che invece è lo Heimweh, il male del ritorno), essa è un autentico male del desiderio, ed è perciò anche più di una tensione all‘infinito, (chiamato diversamente Streben, tendenza illimitata all'assoluto). Ma chi ancor meglio riesce a descrivere, e in termini più sistematici, il senso dell'infinito per l'uomo sono i filosofi dell'Idealismo: per primo Fichte. La filosofia di Fichte è una filosofia del buon senso secondo cui l‘idealismo viene sentito come ragione di vita e non come necessità della ragione teoretica, per cui il sentimento fa scoprire molto più del ragionamento. Egli porta a pieno compimento nella“ Prima introduzione alla dottrina della scienza “la definizione di superiorità della ragion pratica su quella pura proposta da Kant (pur criticando alcune teorie di questo filosofo): la realtà può essere compresa solo quando la si vive (come già sosteneva Holderlin), per cui la libertà può essere sentita solo da chi è predisposto ad essa. La libertà dev’essere ovviamente intesa, come fa Kant, nell'ambito della moralità e di un'esigenza interiore dell'anima di apertura all'infinito (e non come gli economisti per cui rappresenta il libero mercato). Idealista è solo chi, scoprendo la moralità, ha bisogno di una libertà spirituale, una tensione all'infinito. In questo senso con gli Idealisti viene completamente rivalutato l‘uomo-soggetto, e il punto di partenza del sistema fichtiano diventa la finitezza dell'uomo in rapporto all'infinito cosmico . Va comunque ricordato che il problema antropologico che Fichte si pone all'inizio diventa nella sua ultima fase un problema metafisico, l'infinito come dio. E poiché la tensione interiore verso la felicità e il sapere assoluto, che si attua nello sforzo morale, ci mostra un germe di infinito nella realtà finita, dall'opposizione di questi due elementi scaturisce lo stesso Io, l'essenza dell'uomo. Questo Io, che è la chiave di volta della dimostrazione dell'unità di finito e infinito (e per questo l‘idealismo di Fichte è definito “soggettivo“ o “etico“), e viene detto più precisamente “Io Puro“, come prima condizione pone se stesso e si conosce nel mondo circostante. Poi oppone a se stesso un non io, un ostacolo e limite che serve per potersi realizzare nell'immediata consapevolezza della reciproca relazione tra tesi e antitesi, ossia la sintesi, in cui il limite fra io e non-io viene perpetuamente superato in un processo infinito. Il senso dell'infinito che non può essere mai raggiunto concretamente si rivela nell 'uomo, “manifestazione storica dell'infinito“, che nella “Fenomenologia dello Spirito“ di Hegel dà luogo alla coscienza infelice, cioè alla consapevolezza progressiva di non potersi mai realizzare in nessuna esperienza finita e limitata. Ma se per Fichte ciò che più è importante è l‘ con la sua titanica lotta, per Schelling anche la natura è manifestazione dell‘infinito, tutto parla di Dio. Ed Hegel dirà che la storia stessa è la progressiva esplicitazione dello Spirito Ininito, così come l'evoluzione che muta il germe in pianta è l'attuazione della ricchezza implicita del seme). Si può dire, concludendo, che l'infinito descritto da questi filosofi è un infinito in atto, cioè compiuto, e non completabile, esaurito e non inesauribile. L'infinito che Aristotele negava come possibile ed esistente, a differenza di quello potenziale (che Hegel considera la “mala infinità“) in cui si ha sempre la possibilità di procedere oltre, senza un limite ultimo.
Ed è proprio questo secondo tipo d'infinito che anche Leopardi vagheggia nel suo più famoso idillio “L’infinito”: gli spazi e i tempi che in esso sono descritti non rappresentano una realtà completa, ma una a cui vi si può aggiungere sempre qualcosa. Ma questo fatto dipende essenzialmente dalla filosofia, di matrice sensistica e non trascendente, a cui Leopardi si ricollega. Egli, già nello “Zibaldone“, spiega la teoria del piacere da cui prende spunto tutta la teoria del vago e indefinito: la ricerca del piacere, identificato con la felicità, rappresenta la ragione di infelicità per l'uomo. Tale piacere, sensibile e materiale, è infinito per natura e durata, perciò resta impossibile all'uomo raggiungerlo, e si sente così inappagato, infelice. Egli può compensare tale irraggiungibilità fisica del piacere con l'illusione creata da aspetti vaghi e indefiniti della realtà, immagini che rappresentano il bello più elevato. Ora, “l’Infinito“ è proprio la rappresentazione di uno di questi momenti privilegiati in cui l'uomo con l'immaginazione può godere del bello strappato al brutto (la realtà), e sentirsi nel tutto circostante. L'impedimento della vista, cioè del reale, grazie alla siepe che chiude lo sguardo, permette al poeta di fingersi l'infinito spaziale di “interminati spazi, sovrumani silenzi e profondissima quiete“. E in seguito , dalla sensazione uditiva del vento, non più visiva, prende avvio l'immaginazione anche di un infinito temporale. E se in un primo momento questa percezione dell'infinito dava un senso di sgomento, ora il naufragio dell'io diventa dolce e piacevole . Non si tratta certo di un‘infinità mistica e sovrannaturale, ma solo materiale. E’ inoltre frutto di un percorso psicologico e non certo oggettivo o ontologico. Il naufragio non è fuga nell'irrazionalità e nel sogno , ma è sempre sottoposto a un rigido controllo della razionalità. Anche l‘uso dell'aggettivo dimostrativo “questo“ e “quello“ concorre a creare il senso d'opposizione fra una realtà finita e concreta ( questo ) ed una infinita e astratta (quello) che alla fine viene completamente interiorizzata e quindi assorbita dal “questo” . Interessante è poi notare la particolare struttura simmetrica dei versi e la concorrenza di ogni piano , da quello lessicale al metrico , per rendere l ‘ idea di un continuum mentale . Se la parola “ fu “ (vicino a “sempre ”), che è l'unico passato remoto della lirica , sembra quasi significare “caro da sempre”, in un tempo continuato tra passato , presente e futuro, i dieci enjambements sui quindici versi danno sintatticamente il senso di un'esperienza unitaria. Si arriva così a quel tocco da maestro di Leopardi che è la perfetta compenetrazione di significante e significato: ad una continuità narrativo-psicologica corrisponde una continuità della struttura metrica. E il concetto d'infinito, nella sua dimensione potenziale e prerelativistica, trova così piena autonomia. Bisogna aspettare però l'arrivo di Cantor in matematica, sempre nell'Ottocento, perché questo concetto sia rigorosamente e sistematicamente dimostrato anche nella sua dimensione attuale. Il concetto d'infinito ispirò sempre tra i matematici di tutte le epoche teorie diverse e li indusse a costruire ragionamenti che portavano a conclusioni talvolta contrastanti con le proprietà ormai accettate perché chiaramente intuitive, oppure a sostenere tesi apparentemente in contraddizione con principi generali, cioè Paradossi. Il primo è appunto quello di Zenone che nel secondo secolo a.C. dimostrò come la somma di infiniti segmenti dia per risultato un segmento finito, e quindi che grandezze finite come distanze e tempi possano essere divise all'infinito. In sintesi è questo il ragionamento esposto nel paradosso di Achille e la tartaruga, secondo il quale il piè veloce Achille non raggiungerebbe mai la lenta tartaruga cui aveva dato un metro di vantaggio iniziale. Infatti, poiché secondo l'insegnamento dei pitagorici un segmento è formato da infinite parti di infinitesima grandezza, quando Achille si muove, ad una velocità doppia della tartaruga, raggiunge ogni volta la metà dell'ultimo percorso, mentre la tartaruga si è già mossa di un'altra metà, tanto che Achille risulterà sempre un pò più indietro di essa. Più tardi Euclide, nello studio dei numeri, presenterà la semplice dimostrazione dell'infinità dei numeri primi, poiché non può esistere il più grande numero primo. Questa, apparentemente in contrasto con la legge di rarefazione dei numeri primi, veniva dimostrata con il metodo per assurdo: supponendo i numeri primi finiti, esiste un numero più grande di tutti, ma moltiplicandolo per tutti i numeri che lo precedono e aggiungendovi uno, si ottiene un numero primo più grande, in contrasto con l'ipotesi. Euclide dopo i postulati elencò anche una serie di regole di deduzione logica, evidenti e intuitive per le cose finite, tra cui il fatto che una parte è sempre inferiore al tutto. Ma questa nozione fu la causa della nascita dei paradossi dell'equinumerosità (in generale due insiemi si dicono equinumerosi se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca che ad ogni elemento del primo insieme col-leghi un solo elemento del secondo e viceversa ), come quello di Galileo che di-mostrò come una parte, i quadrati perfetti, non sia sempre inferiore al tutto ( nell'ambito dell‘infinito ), cioè i numeri interi positivi, stabilendo appunto una corris-pondenza biunivoca tra essi . Anche Bolzano, nel 1860, darà una dimostrazione analoga con la corrispondenza biunivoca tra gli interi positivi e i numeri pari. Nel 1872 Dedekind definirà allora l'insieme finito proprio per la sua proprietà di essere equinumeroso con una parte di esso, negando cioè il quinto postulato di Euclide e avviando la scoperta delle geometrie non euclidee che il suo amico e con-temporaneo Riemann porterà poi a compimento. Nello stesso tempo Dedekind si interesserà allo studio di quei numeri irrazionali in cui Pitagora nel VI secolo a.C. si era imbattuto e che Cantor spiegherà definitivamente in relazione alla loro natura in-finita con la cosiddetta Ipotesi del Continuo. Pitagora attraverso il suo noto teorema scoprì che la diagonale del quadrato è uguale a, e quest'ultimo numero che dopo la virgola è costituito da una serie infinita di cifre che si succedono senza alcuna regolarità non può essere considerato come il rapporto tra due numeri interi, al contrario dei numeri razionali. A questa scoperta Pitagora arriva grazie a una semplice dimostrazione per assurdo, che contraddice l‘ipotesi di partenza per cui, dove d ed e sono due numeri interi n e m ridotti ai minimi termini: se (tale cifra è pari in quanto divisibile per due) pari; essi sono due numeri pari con fattore comune due , e cioè viene negata l‘ipotesi per cui d/e è uguale al rapporto di due numeri interi ridotti ai minimi termini. Da ciò segue che la radice di due non è un rapporto tra interi. George Cantor nel 1872 sarà il primo matematico a fare degli insiemi , in particolare infiniti, uno studio sistematico e a risolvere il problema delle proprietà che distinguevano l'insieme N dei numeri naturali da quello dei numeri reali R e da quello dei numeri irrazionali. Tutti questi insiemi risultano equinumerosi in quanto infiniti, ma il livello d’infinito che contraddistingue ciascuno e la sua potenza è diversi . E’ un concetto straordinario il fatto che esistano delle gerarchie d'infiniti. Ovviamente si tratta di infiniti attuali, né potenziali né assoluti , in cui il primo livello, rappresentato con la prima lettera dell'alfabeto ebraico “aleph“, è l'infinito numerabile o quantizzato, dei numeri interi, razionali, irrazionali algebrici, rappresentato geometricamente da una successione discreta di punti . Il secondo livello d'nfinito è invece costituito da aleph-1, che è la potenza del continuo superiore a quella del numerabile , cioè numeri reali e irrazionali trascendenti, ed è geometricamente determinato dai punti di una linea. La differenza che c'è tra questi due livelli è quella che c‘è se saltiamo da un punto qualsiasi di un segmento ad un altro o se invece lo percorriamo in modo continuo. Cantor inoltre dimostra l'esistenza di altri livelli d'infinito, infiniti come aleph-2, rappresentato dalle curve geometriche, e così via . Con questa scoperta Cantor risolveva la serie di paradossi sull'equinumerosità degli insiemi infiniti, legittimando il quinto postulato di Euclide, ma affermando l'esistenza di infiniti di diverse dimensioni nel suo teorema: nessun insieme è grande quanto l'insieme delle parti. Ma una questione che è rimasta a lungo aperta è se tra due livelli aleph di infinito ce ne possono essere di intermedi: Cantor ritiene di no a livello di “ipotesi del continuo“ , mentre Cohen nel 1963 riuscirà a dimostrare che l'ipotesi del continuo non è valida per gli insiemi infiniti “non costruibili“ (Godel nel 1940 aveva già dimostrato la validità dell'ipotesi del continuo per gli insiemi infiniti costruibili ). Si possono perciò costruire diverse “Aritmetiche dell'Infinito“, ciascuna coerente, nelle quali l'ipotesi del continuo può essere vera o falsa (indecidibilità della verità di un teorema e crollo del principio del terzo escluso). Nel ventesimo secolo risultano così esistere più aritmetiche, come del resto più geometrie euclidee (fondate sulla verità del postulato delle parallele) e non euclidee (fondate sulla negazione di tale postulato). Ora, è evidente che, a conclusione di tutto ciò, potrebbe sembrare derivarne il crollo della matematica come scienza sublime e perfetta per eccellenza, confermata peraltro dalla sua proverbiale inconfutabilità. Quasi come se la teoria relativistica della realtà non potesse fare a meno di coinvolgere anche il sapere matematico. Ma, a mio avviso, si tratta di un crollo solo su un piano meramente ideologico, e non razionale, dal momento che gli strumenti e le vie per giungere a determinate deduzioni in campo scientifico sono sempre, e ripeto sempre, condotte attraverso il più rigido rigore logico.

Bibliografia
* AA.VV., Enciclopedia, vedi voce "Infinito" , Torino , Einaudi , 1979

* AA.VV., Enciclopedia italiana, vedi voce "Infinito" , Roma , **** , 1937

* AA.VV., European Mathematical Information Service (EMIS)

* AA.VV., Dal testo alla storia dalla storia al testo, To, Paravia, 1998

* Adorno-Mastrangelo, Arte, Firenze, D'Anna, 1998

* De Luca; Grillo; Pace; Ranzoli, Views of literature, Torino, Loescher, 1996

* Hawking, Dal Big-Bang ai buchi neri, Milano, RCS, 1994

* Lombardo Radice, L'infinito, Roma, Editori Riuniti, 1989

* Sato, La nascita dell'universo, in Newton, 1, 1998, pp.138-157

* Tartaro, L'infinito, in Iter, 4, 1999, pp.4-7

* Zichichi, L'infinito, Losanna, Editrice Galilei, 1988

Registrati via email
In evidenza