Matematica Maturità: equazione retta tangente a grafico di funzione

 foto di calcolatrice casio FX991ES+

Prepararsi con anticipo alla prova di matematica della maturità è fondamentale. Dunque, perchè non esercitarsi con calcolo dell'equazione della retta tangente al grafico di una funzione? Questo, infatti, è uno dei quesiti di matematica più frequenti all'esame di maturità del liceo scientifico. Il prof di matematica, Francesco Bologna, ci spiega come affrontare questo problema sia con il metodo tradizionale, sia con l'aiuto di una delle calcolatrici scientifiche più diffuse, la Casio FX991ES PLUS.

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Per determinare tale equazione dobbiamo ricordare il significato geometrico di derivata secondo il quale la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta l'inclinazione della retta tangente in quel punto.

[math]f^{'}\left(x_0\right)=m\ \ \ \ \ \ con\ \ \ \ \ \ \ \ y=mx+q[/math]

La procedura di calcolo si basa, in genere, su diverse fasi:


    1. Si determina il valore della funzione in
    [math]x_0,[/math]
    [math]y_0=f\left(x_0\right);[/math]



    2. Si determina l'equazione della funzione derivata prima
    [math]y=f^{'}\left(x\right);[/math]



    3. Si determina il valore della funzione derivata prima in
    [math] x_0,[/math]
    [math] y_0=f'\left(x_0\right),[/math]
    in tal modo determiniamo il coefficiente angolare
    della retta
    [math]m.[/math]



    4. Si determina l'equazione della tangente al grafico nel punto
    [math]\left(x_0,y_0\right)[/math]
    sostituendo i valori precedentemente determinati nella relazione del fascio proprio:

[math]y-y_0=m(x-x_0)[/math]

CALCOLO DELL'EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE AL GRAFICO DI UNA FUNZIONE

Esempio: determinare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione

[math]y = ln(x^2-9)/(x+2)[/math]

Nel punto di ascissa 10.

Determiniamo il valore della funzione in

[math]x_0=10[/math]
sostituendo 10 al posto
di
[math]x.[/math]
Otterremo:

[math]y_0=f\left(10\right)=\ln{\left(\frac{100-9}{10+2}\right)}=\log{\left(7,58\right)}=2,025[/math]

Determiniamo l'equazione della funzione derivata prima

[math]y=f^{'}\left(x\right)[/math]
(ricorda che è una funzione composta)


[math]f^{'}\left(x\right)=\frac{1}{\frac{x^2-9}{x+2}}\bullet{}\frac{2x\left(x+2\right)-\left(x^2-9\right)\left(1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{2x^2+4x-x^2+9}{\left(x^2-9\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^2+4x+9}{\left(x^2-9\right)\left(x+2\right)}
[/math]

Calcoliamo il valore del coefficiente angolare sostituendo 10 al posto della

[math]x:[/math]


[math]m=\frac{100+40+9}{(100-9)(10+2)}=0,13[/math]

Otterremo l'equazione della retta tangente al grafico nel punto

[math]\left(x_0,y_0\right)[/math]
sostituendo i valori precedentemente determinati nella relazione del fascio proprio:


[math]y-2,025=0,13(x-10)[/math]

 foto di grafico di una funzione

Vediamo come la calcolatrice FX991ES PLUS può semplificare la procedura.

Passaggio #1

Data la funzione, terminiamo determiniamo il valore della funzione in 10, sostituendo 10 al posto di

[math]x.[/math]


Dopo aver trascritto la funzione utilizzando la funzione ALPHA

 foto di tasto alpha calcolatrice

Digita il comando CALC

 foto di tasto calc calcolatrice


E inserisci il valore 10 e digita =. Otterremo il valore dell'ordinata.

 foto di schermo calcolatrice

Passaggio #2

Utilizziamo la funzione SHIFT per inserire il comando di calcolo della derivata prima nel punto.

 foto di tasto shift calcolatrice

 foto di tasto shift calcolatrice

 foto di schermo calcolatrice

Passaggio #3

Digitando =

 foto di tasto uguale calcolatrice

determineremo il valore della derivata nel punto, quindi il coefficiente angolare

[math]m.[/math]


 foto di schermo calcolatrice

Passaggio #4

Sostituendo i valori precedentemente determinati nella relazione del fascio proprio


[math]y-y_0=m(x-x_0)[/math]

Otterremo l'equazione cercata.


[math]y-2,025=0,13(x-10)[/math]

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