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Equazioni e disequazioni goniometriche di secondo grado

Appunto di Trigonometria che descrive come risolvere le equazioni e le disequazioni goniometriche di secondo grado in seno, coseno e tangente.

E io lo dico a Skuola.net
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE DI SECONDO GRADO

Oggi impareremo a risolvere equazioni e disequazioni goniometriche di secondo grado, ovvero equazioni e disequazioni in cui compaiono seno al quadrato, coseno al quadrato o eventualmente combinazioni di questi due. Cominciamo subito a considerare un primo esempio, supponiamo che ci venga chiesto di risolvere:


[math]2sin^{2}x+3sin\ x+1=0[/math]


Vedete che questa ha tutto l'aspetto di una specie di equazione di secondo grado, dove però non compare direttamente la variabile
[math]x[/math]
ma compare la funzione
[math]sin\ x[/math]
, vedete che c'è
[math]sin^{2}[/math]
,
[math]sin\ x[/math]
e un numero. Quindi, la cosa che potrebbe sembrarci la vita, è quella di chiamare
[math]sin\ x=t[/math]
. Se faccio questo la nostra equazione di partenza si trasforma nell'equazione di secondo grado:

[math]2t^{2}+3t+1=0[/math]


E questa è facile da risolvere, potete o cercare di fattorizzare o cercare direttamente la formula risolutiva in ogni caso uno conclude che le due soluzioni di quest'equazione sono:


[math]t=-1\\
t=\ -\frac{1}{2}[/math]


E a questo punto capite che sarà sufficiente mettere al posto della
[math]t[/math]
il
[math]sin\ x[/math]
, visto che la nostra
[math]t[/math]
non era altro che la funzione
[math]sin\ x[/math]
. Quello che si ottiene sono due equazioni elementari, le cui soluzioni sono rispettivamente:

[math]t=-1 \to sin\ x=-1 \to x=\frac{3}{2}π+2kπ[/math]



[math]t=\ -\frac{1}{2} \to sin\ x=-\frac{1}{2} \to x=\frac{7}{6}π+2kπ\ \ e\ \ x=\frac{11}{6}π+2kπ[/math]


Vediamo invece come bisogna comportarci se ci assegno una disequazione di questo tipo. Quindi prendiamo la stessa, e supponiamo che ci chiedano quando è maggiore o uguale a
[math]0[/math]
. Fondamentalmente uno fa la stessa cosa di prima:

[math]2sin^{2}x+3sin\ x+1≥0[/math]


Ribattezza il seno come
[math]t[/math]
e va a vedere quando:

[math]2t^{2}+3t+1≥0[/math]


Questa è una disequazione di secondo grado e si risolve facilmente e uno trovo che la disequazione è verificata per i valori:





[math]t≤-1\ \cup \ t≥-\frac{1}{2}[/math]


A questo punto non resta di ricordarsi chi era la nostra
[math]t[/math]
.



La nostra
[math]t[/math]
era la funzione
[math]sin\ x[/math]
, quindi dovremo andare a vedere quando la funzione
[math]sin\ x≤-1[/math]
, cioè quando sta sotto questa retta gialla lì, o almeno coincide con essa e vedete che l'unico punto che va bene è il punto
[math]\frac{3}{2}π[/math]
dove il seno vale proprio
[math]-1[/math]
; oppure dove la funzione
[math]sin\x≥-\frac{1}{2}[/math]
, quindi in termini di grafico, dove il grafico della funzione seno sta al disopra con la retta di equazione
[math]y=\frac{1}{2}[/math]
.

Concludiamo che:


[math]S=\begin{Bmatrix}2kπ≤x≤\frac{7}{6}π+2kπ\\x=\frac{3}{2}π+2kπ\\ \frac{11}{6}π≤x≤2π\\\end{Bmatrix} \to x \in \mathbb{R}[/math]
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