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LA TRIGONOMETRIA, LA COTANGENTE GONIOMETRICA

La cotangente goniometrica è una funzione che associa alla misura dell'ampiezza di un angolo α un numero reale. Per definirla si utilizza la circonferenza goniometrica descritta dall’equazione

[math]x^2+y^2=1[/math]
e di raggio = 1.

Costruita la tangente, orizzontale, alla circonferenza goniometrica nel punto C, si prolunga il segmento OB associato all’angolo α fino a intersecare la tangente nel punto T. Sapendo che OA = raggio = 1, per definizione:

[math]cot⁡α=\frac{CT}{OA}=\frac{CT}{1}=CT[/math]

Per

[math]α=90°=\frac{\pi}{2}[/math]
e
[math]α=270°=\frac{3\pi}{2}[/math]
,
[math]cotα=0[/math]

Per

[math]α=0°[/math]
la cotangente non è determinabile.

Per un angolo di circa 0°, la cotangente e il prolungamento del raggio OB tendono ad essere paralleli e si intersecano all’infinito. La

[math]cot0{2}[/math]
non è quindi calcolabile, ma possiamo definirla per valori quasi uguali a 0°.

Per un angolo di poco maggiore di 0°,

[math]cotα=+\infty[/math]

Per un angolo di poco minore di 0°,

[math]cotα=-\infty[/math]

Per

[math]α=180°=\pi[/math]
, vale lo stesso discorso. La cotangente non è calcolabile e solo per angoli di poco più piccoli, o più grandi, di
[math]α=\pi[/math]
la tangente è risolvibile mediante la funzione limite e uguale a ±∞.

Per un angolo di poco minore di 180°,

[math]\lim_{ε \to 0^+} cot(\pi-ε)=-\infty[/math]

Per un angolo di poco maggiore di 180°,

[math]\lim_{ε \to 0^+} cot(\pi+ε)=+\infty[/math]

Inoltre, da α=0,1° in poi, con l’aumentare dell’angolo la cotangente diminuisce; da α=180,1° in poi, i valori della cotangente si ripetono, poichè anche la cotangente, come il seno e il coseno, è una funzione periodica, con periodo T=π.

In generale diciamo che

[math]cot⁡(α+\pi)=cotα[/math]
o meglio:
[math]cot(α+K\pi)=cot⁡α[/math]

Questa equazione definisce la periodicità della funzione cotangente. K è una costante ed è un numero intero:

[math]K=0; ±1; ±2…[/math]
,
[math](K∈Z)[/math]
.

La Cotangentoide è la curva che determina il valore della cotangente in funzione dell’angolo α.
In corrispondenza dei valori 0, π e 2π la funzione non è calcolabile. Quindi in corrispondenza di quei valori vi è un asintoto verticale che la curva interseca all’infinito.
La cotangente è positiva e decrescente da 0 a 90° (π/2) e da 180° a 270° (π – 3π/2), ed è negativa e crescente da 90° a 180° (π/2 - π) e da 270° a 0 (3π/2 - 2π).

Relazione tra la Cotangente e Seno e Coseno

I due triangolo OBH e OTC sono entrambi triangoli rettangoli e i loro lati sono in proporzione: OH : HB = TC : OC ovvero:

[math]cosα : sinα = cot⁡α : 1[/math]

Da sui si deriva che:

[math]cot⁡α=\frac{cos⁡α}{sin⁡α}=\frac{1}{tan⁡α}[/math]

La cotangente è una funzione complementare della tangente e per archi complementari:

[math]tan⁡(\frac{\pi}{2}-α)= \frac{sin⁡(\frac{\pi}{2}-α)}{cos⁡(\frac{\pi}{2}-α)}=\frac{cos⁡α}{sin⁡α}=cot⁡α[/math]

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