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Addizione, Sottrazione, Duplicazione e Bisezione scaricato 49 volte

Trigonometria, Formule di Addizione, Sottrazione, Duplicazione e Bisezione

Formule di Addizione e Sottrazione

Seni e Coseni non sono funzioni lineari per cui non è vero che:

[math]sin30°=\frac{1}{2}sin60°[/math]

Se guardiamo la figura il allegato, definiamo:
l'arco AM =

[math]\beta[/math]

l'arco AN =

[math]\alpha[/math]

l'arco MN = arco AB =

[math]\alpha-\beta[/math]
[math]A=(1;\ 0)[/math]
[math]B=(cos(\alpha-\beta);\ sin(\alpha-\beta))[/math]
[math]M=(cos\beta;\ sin\beta)[/math]
[math]N=(cos\alpha;\ sin\alpha)[/math]

Imponiamo l'uguaglianza AB = MN,

[math]AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/math]

Sostituiamo:

[math](1-cos(\alpha-\beta))^2+(0-sin(\alpha-\beta))^2=\\ (cos\beta-cos\alpha)^2+(sin\beta-sin\alpha)^2\\1+cos^2(\alpha-\beta)-2cos(\alpha-\beta)+sin^2(\alpha-\beta)=\\ cos^2\beta+cos^2\alpha-2cos\alpha\ cos\beta+sin^2\beta+sin^2\alpha-2sin\alpha\ sin\beta\\1+1-2cos(\alpha-\beta)=1+1-2cos\alpha\ cos\beta-2sin\alpha\ sin\beta\\cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha-(-\beta))=cos\alpha\ cos(-\beta)+sin\alpha\ sin(-\beta)[/math]
[math]cos(\alpha+\beta)=cos\alpha\ cos\beta-sin\alpha\ sin\beta[/math]
<- Formula di Addizione

Similmente:

[math]sin(\alpha+\beta)=sin\alpha\ cos\beta+cos\alpha\ sin\beta[/math]
<- Formula di Addizione
[math]cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\ cos\beta+sin\alpha\ sin\beta[/math]
<- Formula di Sottrazione
[math]sin(\alpha-\beta)=sin\alpha\ cos\beta-cos\alpha\ sin\beta[/math]
<- Formula di Sottrazione

Per quanto riguarda la tangente:

[math]tan(\alpha+\beta)=\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos(\alpha+\beta)}=\frac{sin\alpha\ cos\beta+cos\alpha\ sin\beta}{sin\alpha\ cos\beta+cos\alpha\ sin\beta}[/math]

Dividiamo sopra e sotto per

[math]cos\alpha\ cos\beta[/math]
[math]\frac{\frac{sin\alpha\ cos\beta+cos\alpha\ sin\beta}{cos\alpha\ cos\beta}}{\frac{sin\alpha\ cos\beta+cos\alpha\ sin\beta}{cos\alpha\ cos\beta}}=\frac{\frac{sin\alpha\ cos\beta}{cos\alpha\ cos\beta}+\frac{cos\alpha\ sin\beta}{cos\alpha\ cos\beta}}{\frac{cos\alpha\ cos\beta}{cos\alpha\ cos\beta}-\frac{sin\alpha\ sin\beta}{cos\alpha\ cos\beta}}=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha\ tan\beta}[/math]
[math]=tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha\ tan\beta}[/math]
<- Formula di Addizione
[math]=tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha\ tan\beta}[/math]
<- Formula di Addizione

Formule di Duplicazione

Le formule di Duplicazione permettono di calcolare il coseno (o il seno) dell'angolo doppio conoscendo il seno e il coseno dell'angolo semplice.

[math]cos2\alpha=cos(\alpha+\alpha)=cos\alpha\ cos\alpha-sin\alpha\ sin\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha[/math]
[math]sin2\alpha=sin(\alpha+\alpha)=sin\alpha\ cos\alpha-sin\alpha\ cos\alpha=2sin\alpha\ cos\alpha[/math]
[math]tan2\alpha=\frac{tan\alpha+tan\alpha}{1-tan\alpha\ tan\alpha}=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}[/math]

Formule di Bisezione

Con le formule di bisezione si può passare da

[math]\alpha[/math]
a
[math]\frac{\alpha}{2}[/math]
per esempio da un angolo di 30° a uno di 15°. Per ricavarle si parte dalle formule di duplicazione e utilizzando l'identità fondamentale:
[math]cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=1-2sin^2\alpha[/math]
ovvero
[math]=2cos^2\alpha-1[/math]

Consideriamo solo le due equazioni riscritte utilizzando l'identità fondamentale e consideriamo

[math]\alpha=\frac{\alpha}{2}[/math]
[math]cos2\frac{\alpha}{2}=1-2sin^2\frac{\alpha}{2}[/math]
[math]2sin^2\frac{\alpha}{2}=1-cos\alpha[/math]
[math]sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos\alpha}{2}[/math]
[math]sin\frac{\alpha}{2}=±\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}}[/math]
<- Formula di Bisezione

Il segno, più o meno si stabilisce sulla base del quadrante dove si trova

[math]\alpha[/math]
[math]cos2\frac{\alpha}{2}=2cos^2\frac{\alpha}{2}-1[/math]
[math]2cos^2\frac{\alpha}{2}=1+cos\alpha[/math]
[math]cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+cos\alpha}{2}[/math]
[math]cos\frac{\alpha}{2}=±\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}[/math]
<- Formula di Bisezione

Il segno, più o meno si stabilisce sulla base del quadrante dove si trova

[math]\alpha[/math]

Infine

[math]tan\frac{\alpha}{2}=±\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}}[/math]
<- Formula di Bisezione

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