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Definizione


In statistica, con medie analitiche si intende dei numeri che soddisfano una condizione di invarianza e si calcolano tenendo conto di tutti i valori di una determinata distribuzione; nei casi in cui tali valori presentino delle frequenze diverse dall'unità o comunque abbiano dei pesi differenti si parla di medie ponderate, in caso contrario di medie (semplici).

Media aritmetica ponderata


Data una distribuzione di
[math]n[/math]
valori
[math]x_k[/math]
a cui sono associate rispettivamente delle frequenze (o pesi)
[math]w_k[/math]
si definisce media aritmetica ponderata quel numero che sostituito a tali valori lascia invariata la somma:
[math]\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n x_k\,w_k = \sum_{k = 1}^n A_{ri}\,w_k\end{aligned} \; \; \; \Rightarrow \; \; \; A_{ri} = \frac{\begin{aligned}\sum_{k = 1}^n x_k\,w_k\end{aligned}}{\begin{aligned}\sum_{k = 1}^n w_k\end{aligned}} \; .\\[/math]

Esempio applicativo: uno studente al primo anno di Ingegneria ha riportato le seguenti valutazioni: 30 in Chimica (9 crediti), 21 in Disegno (9 crediti), 19 in Analisi Matematica (12 crediti), 27 in Economia (6 crediti), 20 in Fisica 1 (9 crediti), 24 in Geometria e Algebra Lineare (6 crediti), 28 in Informatica (6 crediti). La media dei voti alla fine del primo anno risulta dunque essere pari ad:

[math]A_{ri} = \frac{30\cdot 9 + 21\cdot 9+19\cdot 12+27\cdot 6+20\cdot 9+24\cdot 6+28\cdot 6}{9+9+12+6+9+6+6} = 23.53[/math]

dove, in questo caso, i Crediti Formativi Universitari (CFU) corrispondono ai pesi (alle difficoltà intrinseche) degli esami considerati.

Media geometrica ponderata


Data una distribuzione di
[math]n[/math]
valori
[math]x_k[/math]
a cui sono associate rispettivamente delle frequenze (o pesi)
[math]w_k[/math]
si definisce media geometrica ponderata quel numero che sostituito a tali valori lascia invariato il prodotto:


[math]\begin{aligned} \prod_{k = 1}^n x_k^{w_k} = \prod_{k = 1}^n G^{w_i}\end{aligned} \; \; \; \Rightarrow \; \; \ G = \sqrt[\begin{aligned} \sum_{i = 1}^n w_i \end{aligned}]{\begin{aligned} \prod_{k = 1}^n x_k^{w_k} \end{aligned}} \; .\\[/math]

Esempio applicativo: un capitale è stato impiegato per 4 anni al tasso del 2%, per altri 3 anni al tasso del 3% ed infine per 2 anni al tasso del 5%. Il tasso medio applicato a tale capitale risulta dunque essere pari a:

[math]G = \sqrt[4 + 3 + 2]{(0.02)^4 \cdot (0.03)^3\cdot (0.05)^2} = 0.028 \; .[/math]

Media armonica ponderata


Data una distribuzione di
[math]n[/math]
valori
[math]x_k[/math]
a cui sono associate rispettivamente delle frequenze (o pesi)
[math]w_k[/math]
si definisce media armonica ponderata quel numero che sostituito a tali valori lascia invariata la somma dei loro reciproci:
[math]\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n \frac{w_k}{x_k} = \sum_{k = 1}^n \frac{w_k}{A_{rm}}\end{aligned} \; \; \; \Rightarrow \; \; \ A_{rm} = \frac{\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n w_k \end{aligned}}{\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n \frac{w_k}{x_k} \end{aligned}} \; .\\[/math]

Esempio applicativo: un ciclista percorre un primo tratto lungo 2 km alla velocità media di 50 km/h, un secondo tratto lungo 10 km alla velocità media di 30 km/h e un terzo tratto lungo 15 km alla velocità media di 25 km/h. La velocità media sull'intero percorso risulta dunque essere pari ad:

[math]A_{rm} = \frac{2 + 10 + 15}{\frac{2}{50} + \frac{10}{30} + \frac{15}{25}} = 27.74\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \; .[/math]

Media quadratica ponderata


Data una distribuzione di
[math]n[/math]
valori
[math]x_k[/math]
a cui sono associate rispettivamente delle frequenze (o pesi)
[math]w_k[/math]
si definisce media quadratica ponderata quel numero che sostituito a tali valori lascia invariata la somma dei loro quadrati:


[math]\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n x_k^2\,w_k = \sum_{k = 1}^n Q^2\,w_k \end{aligned} \; \; \; \Rightarrow \; \; \ Q = \sqrt{\frac{\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n x_k^2\,w_k \end{aligned}}{\begin{aligned} \sum_{k = 1}^n w_k \end{aligned}}} \; .\\[/math]

Esempio applicativo: dato un insieme di numeri in cui il 2 compare 3 volte, il 4 è presente una volta, l'8 è presente 2 volte e l'11 compare 4 volte, la media dei quadrati dei numeri presenti in tale insieme risulta essere pari a:

[math]Q^2 = \frac{2^2\cdot 3 + 4^2\cdot 1+8^2\cdot 2+11^2\cdot 4}{3 + 1 + 2 + 4} = 64 \; .\\[/math]
Nota tale media, ad esempio, sottraendo il quadrato delle media aritmetica ponderata di tale insieme di numeri è possibile calcolare la varianza ed estraendo la radice quadrata della varianza determinare lo scarto quadratico medio.


Osservazione


È facilmente dimostrabile che, a prescindere dai dati considerati, vale la seguente relazione:

[math]A_{rm} \le G \le A_{ri} \le Q\\[/math]

ove il segno uguale vale solo nel caso in cui i dati siano tutti uguali.

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