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Teoremi sui poligoni

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

1. Teorema: gli assi dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto equidistante dai vertici (detto circocentro).

2. Teorema: le tre altezze di un triangolo passano per uno stesso punto (detto ortocentro).

3. Teorema: le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto equidistante dai lati (detto incentro)

4. Teorema: le bisettrici di due angoli esterni di un triangolo e dell'angolo interno non adiacente ad essi passano per uno stesso punto (detto excentro)

Osservazione:
dai teoremi 3 e 4 si deduce che nel piano di un triangolo vi sono quattro punti equidistanti dalle rette dei lati: l'incentro e tre excentri. L'incentro è interno al triangolo mentre gli altri tre sono esterni.

Teorema: in un triangolo qualunque le tre mediane passano per uno stesso punto (detto baricentro o centro di gravità del triangolo), che divide ciascuna mediana in due parti, di cui quella contenente il vertice è il doppio dell'altra.

Conclusione:
Il circocentro, l'ortocentro, l'incentro, i tre excentri e il baricentro si dicono punti notevoli del triangolo

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

Un poligono si dice inscritto in una circonferenza quando i suoi vertici stanno sulla circonferenza, questa a sua volta si dice circoscritta al poligono
Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza quando i suoi lati sono tangenti alla circonferenza, che a sua volta si dice inscritta nel poligono.

Teorema: quando un poligono è inscritto in una circonferenza, gli assi dei lati si incontrano in un punto, che è il centro della circonferenza

Teorema: quando un poligono è circoscritto ad una circonferenza, gli assi dei lati si incontrano in un punto, che è il centro della circonferenza.

Teorema: quando un poligono è circoscritto ad una circonferenza, le bisettrici degli angoli si incontrano in un punto, che è il centro della circonferenza.

Ad ogni triangolo si può sempre circoscrivere una circonferenza, il cui centro è il punto di intersezione degli assi dei lati.

In ogni triangolo si può sempre inscrivere una circonferenza il cui centro è il punto d'incontro delle bisettrici dei suoi angoli.

A un poligono qualunque di un numero di lati superiore a tre non si può in generale né circoscrivere né inscrivere una circonferenza: quando ciò avviene il poligono si dice rispettivamente inscrittibile o circoscrittibile

Teorema: in un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono supplementari.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero convesso sia inscrittibile in una circonferenza è che esso abbia due angoli opposti supplementari.

Teorema: se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia circoscrittibile ad una circonferenza è che la somma di due lati opposti sia congruente alla somma degli altri due.

POLIGONI REGOLARI

Un poligono si dice regolare quando ha i lati e gli angoli congruenti, cioè quando è equilatero ed equiangolo.

Teorema: ad ogni poligono regolare si può circoscrivere e inscrivere una circonferenza e le due circonferenze hanno lo stesso centro.

Teorema: se una circonferenza è divisa in un qualsivoglia numero di archi congruenti, il poligono inscritto ottenuto congiungendo successivamente i punti di suddivisione è regolare ed è regolare anche il poligono circoscritto i cui lati sono tangenti alla circonferenza in quei punti.

Teorema: Il lato dell'esagono regolare è congruente al suo raggio

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