Fasci di circonferenze

Considero due circonferenze di equazioni rispettivamente:
1) x2+y 2+a1x+b1y+c1=0
2) x2 +y2+a2 x+b2 +c2=0
Considero 2 numeri reali (λ,μ) non entrambi nulli: (λ,μ,) ≠ (0,0)
Si chiama combinazione lineare di ϒ1 ϒ2 a parametri λ , μ :
λ (x2+y+a1x+b1y+c1) + μ (x2+y+a1x+b1y+c1) = 0
Poiché λ , μ non sono entrambi nulli, suppongo λ ≠ 0 dividendo per λ. Ottengo così l’equazione:
x2+y+a1x+b1y+c1 + μ/λ (x2+y+a1x+b1y+c1) = 0
pongo μ/λ = K
x2+y+a1x+b1y+c1 + K (x2+y+a1x+b1y+c1) = 0
(1+K) x2 + (1+K) y2 + (a1+Ka2) x + (b1+Kb2) y +c1+Kc2 = 0
L’equazione ottenuta è di secondo grado nelle incognite x , y mancante del termine rettangolare (xy) e con coefficienti dei termini di massimo grado (x2 , y2) uguali.

Osservo che se K = -1 l’equazione diventa di primo grado e quindi rappresenta una retta chiamata asse radicale del fascio.
Un fascio di circonferenze può essere di due tipi:
1) Fascio di circonferenze secanti: tutte le circonferenze del fascio hanno due punti in comune chiamati punti base del fascio. La retta che passa per i punti base è chiamata asse radicale.

2) Fascio di circonferenze tangenti: tutte le circonferenze del fascio hanno un punto in comune (punto base del fascio) e sono tutte tangenti tra di loro. L’ asse radicale è la retta tangente a tutte le circonferenze del fascio.

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