gaiabox di gaiabox
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Il terzo argomento di Poincaré è il più importante. Egli sostiene che, per sperimentare un sistema geometrico, euclideo o non euclideo, poiché l'esperienza si compie con corpi reali, occorre fare preliminarmente delle ipotesi fisico-geometriche sulla natura di questi ultimi: per esempio, supporre che gli oggetti impiegati come regoli di misura, i "metri", siano rettilinei, rigidi, invariabili. Occorre cioè, per poter compiere esperimenti geometrici, scegliere delle regole di congruenza tra i corpi, che stabiliscano in quale modo avvengono le coincidenze tra punti di corpi diversi, per esempio tra le tacche di un regolo di misura e le estremità di un corpo da misurare.

Un sistema geometrico fondato su assiomi non è quindi sufficiente per compiere esperienze; a esso occorre aggiungere delle ipotesi sulla natura dei corpi con cui si esperimenta: occorre scegliere una metrica che si ritiene valida nel mondo reale. La scelta di una metrica porta tuttavia a esiti teorici non scontati: il risultato di una misurazione che viene solitamente interpretato come la conferma del sistema euclideo, ammettendo che i corpi usati come regoli di misura siano perfettamente rettilinei, rigidi, invariabili, può essere interpretato anche come la conferma di un sistema teorico non euclideo cambiando la metrica e ammettendo che i regoli impiegati non siano né rettilinei, né rigidi, né invariabili.

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