TeM di TeM
Eliminato 23454 punti

Definizione di circonferenza


Luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto, detto centro della circonferenza.


Definizione di cerchio


Luogo geometrico dei punti interni alla circonferenza e dei punti della circonferenza.


Definizione di pi greco


Rapporto tra la lunghezza della circonferenza e del diametro di un qualsiasi cerchio:

[math]\pi := \frac{C}{D} \approx 3.14\\[/math]
.

Per verificare che tale rapporto è indipendente dal cerchio considerato è possibile procedere per via sperimentale prendendo un barattolo a sezione circolare e legarci attorno uno spago: misurando con uno strumento sensibile perlomeno al millimetro la lunghezza dello spago e il diametro del barattolo (quello esterno!!) è sufficiente calcolare il rapporto di tali misure e ripetere tale procedura una decina di volte: la media aritmetica di tali rapporti coinciderà proprio a

[math]3.14\\[/math]
!!


Formule dirette e inverse sulla lunghezza della circonferenza


Dalla definizione di pi greco segue la prima formula diretta per misurare la lunghezza della circonferenza conoscendo quella del diametro:

[math]C = \pi\,D\\[/math]

e dato che la misura del diametro è doppia del raggio:
[math]D = 2\,R\\[/math]
segue che:

[math]C = 2\,\pi\,R \; .\\[/math]

Alla luce di ciò, le due formule inverse per il calcolo rispettivamente di diametro e raggio conoscendo quella della circonferenza, sono:

[math]D = \frac{C}{\pi}\,, \; \; \; R = \frac{C}{2\,\pi} \; .\\[/math]

Calcolo della lunghezza di un arco di circonferenza


Scrivendo una semplice proporzione, si ha:

[math]C : 360° = a : \alpha[/math]

da cui, noto l'angolo sotteso da tale arco di circonferenza, la lunghezza di tale arco è pari ad:

[math]a = \frac{\alpha}{360°}\,C \; .\\[/math]

Dimostrazione e formule dirette/inverse sull'area del cerchio


Dato un cerchio di raggio
[math]R[/math]
lo si suddivida in molti settori circolari:


quindi metà li si disponga con la punta verso l'alto e i rimanenti li si incastri con la punta verso il basso:

È intuitivo che infittendo tale suddivisione in settori circolari si arrivi al limite in cui nella disposizione di cui sopra si ottenga esattamente un rettangolo di altezza pari al raggio

[math]R[/math]
e di base pari alla semicirconferenza
[math]\frac{C}{2}[/math]
del cerchio considerato. Dal momento che l'area del rettangolo è noto essere banalmente pari al prodotto delle lunghezze di altezza e base, segue che l'area del cerchio è pari ad
[math]A = \frac{C}{2}\,R\\[/math]
.

Ricordando che

[math]C = 2\,\pi\,R[/math]
segue la prima formula diretta per il calcolo dell'area del cerchio:


[math]A = \pi\,R^2\\[/math]

e dato che
[math]D = 2\,R[/math]
ossia
[math]R = \frac{D}{2}[/math]
la seconda formula diretta risulta essere quest'altra:


[math]A = \pi\,\frac{D^2}{4} \; . \\[/math]

Alla luce di ciò, segue in maniera naturale la prima formula inversa per il calcolo del raggio nota l'area del cerchio:

[math]R = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\\[/math]

e dato che ancora

[math]D = 2\,R[/math]
la seconda formula inversa per il calcolo del raggio nota l'area del cerchio è la seguente:


[math]D = 2\,\sqrt{\frac{A}{\pi}} \; .\\[/math]

Calcolo dell'area di un settore circolare


Scrivendo una semplice proporzione, si ha:

[math]A : 360° = S : \alpha\\[/math]

da cui, noto l'angolo spazzato da tale settore circolare, l'area di tale settore è pari a:

[math]S = \frac{\alpha}{360°}\,A \; .\\[/math]

Calcolo dell'area di una corona circolare


Molto semplicemente, l'area di una corona circolare è pari alla differenza tra l'area del cerchio esterno e l'area del cerchio interno (concentrico):

[math]A_c = \pi\,R^2 - \pi\,r^2 = \pi\left(R^2 - r^2\right) \; .[/math]

Registrati via email