EQUAZIONE DI UNA RETTA

Oggi parleremo di com'è possibile determinare l'equazione di una retta. In particolare ci occuperemo dei due casi più semplici che sono anche però i casi più classici, cioè quelli più tipici. Ovvero, vedremo come si fa a trovare l'equazione di una retta, quando:

1. Quando è noto il coefficiente angolare e si sa che la retta passa per un certo punto.

2. Oppure come si fa a trovare l'equazione di una retta quando si sa che la retta passa per due punti dati.


Cominciamo con l'occuparci del primo caso, e per cercare di capire come bisogna muoversi consideriamo un esempio. Supponiamo che la richiesta sia quella di:

Trovare l'equazione della retta passante per

[math](0;2)[/math]
di coefficiente angolare
[math]\frac{1}{2}[/math]
.

Come facciamo a trovare l'equazione della retta? Beh, intanto se vedete che il coefficiente angolare è assegnato ad

[math]\frac{1}{2}[/math]
nell'equazione della retta che è uguale a:


[math]y=mx+q[/math]


Noi conosciamo già un pezzo, cioè:


[math]mx \to \frac{1}{2} x\\ \ \ \ ma\ \ \ q \to ?[/math]


Allora prima di tutto aggiorniamo l'equazione inserendo il valore

[math]\frac{1}{2}[/math]
al posto del coefficiente angolare:


[math]y=\frac{1}{2}x+q[/math]


A questo punto, cosa significa che la retta passa per il punto di coordinate

[math](0;2)[/math]
? Vuol dire che se vado a sostituire le coordinate del punto
[math](0;2)[/math]
all'interno dell'equazione della retta, ottengo un'uguaglianza verifica e noi possiamo sfruttare quest'uguaglianza per determinare il valore del termine noto che per il momento non conosciamo.
Quindi se al posto della
[math]x[/math]
e della
[math]y[/math]
nell'equazione della retta sostituiamo la
[math]x[/math]
e la
[math]y[/math]
del punto per cui sappiamo che deve passare la retta, otteniamo subito:


[math]2=\frac{1}{2}*0+q\\
\\
2=\not{\frac{1}{2}*0}+q\ \to q=2[/math]


Quindi concludiamo immediatamente che il

[math]q[/math]
della nostra retta deve essere uguale a
[math]2[/math]
. Quindi la retta che stavamo cercando è:


[math]y=\frac{1}{2}x+2[/math]


Quindi, se si volesse rappresentare il ciò con un grafico, otterremo che sarà:


Volendo generalizzare quello che abbiamo fatto qui nel caso particolare di questo punto e questo coefficiente angolare, come si procederà? Quindi supponiamo di avere un punto generico ed un coefficiente angolare generico. L'idea è che prima andiamo a:

--> Sostituire il valore del nostro coefficiente angolare all'interno dell'equazione della retta, e a questo punto otterremo un'espressione in cui l'unica cosa che non conosciamo è il

[math]q[/math]
. Più genericamente andiamo a sostituire il valore noto di
[math]m[/math]
nell'equazione
[math]y=mx+q[/math]
.


--> Dopodiché, sfruttate il passaggio per il punto e andate a sostituire le coordinate del punto all'interno dell'equazione e questo ci consentirà di conoscere il nostro

[math]q[/math]
. Più genericamente sostituiamo le coordinate note del punto per trovare
[math]q[/math]
. A questo punto noti
[math]m[/math]
e
[math]q[/math]
possiamo determinare l'equazione della retta.


Vediamo invece che cosa accade quando abbiamo a disposizione due punti per cui passa la retta e ci viene richiesto di trovare l'equazione. per fare questo, come al solito, partiamo da un caso particolare per poi dedurre la strategia generale. E supponiamo di:

Trovare l'equazione della retta passante per i punti

[math](1;1)[/math]
e
[math](2;3)[/math]
e rappresentarla graficamente.


Come si fa in questo caso? Intanto uno parte con lo scriversi l'equazione generale della retta. Quindi:


[math]y=mx+q[/math]


A questo punto quello che dovremmo fare sarà sfruttare prima il passaggio per

[math](1;1)[/math]
e poi il passaggio per
[math](2;3)[/math]
.
Cominciamo con l'occuparci del il passaggio per
[math](1;1)[/math]
. Che cosa vuol dire che la retta passa per
[math](1;1)[/math]
? Vuol dire che se prendo l'equazione della retta e al posto della
[math]x[/math]
e della
[math]y[/math]
sostituisco rispettivamente
[math]1[/math]
ed
[math]1[/math]
devo ottenere un'equazione verificata. E quindi abbiamo che:


[math]1=m*1+q\ \ \to \ \ m+q=1[/math]


Vedete che abbiamo ottenuto una relazione in cui ci sono sia

[math]m[/math]
che
[math]q[/math]
e con questa sola relazione non riusciremo a trovare
[math]m[/math]
e
[math]q[/math]
perché è un po' come se fosse un'equazione di primo grado a due incognite. E quindi cosa ci servirà? Ci servirà sfruttare il passaggio per l'altro di punto, e quindi otterremo in maniera analoga a prima:


[math]passaggio\ \ per\ \ (2;3)\ \to \ 3=m*2+q\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2m+q=3[/math]


Quindi avremo che:


[math]
\begin{cases} m+q=1 \\
2m+q=3 \end{cases}
[/math]


A questo punto uno combina le due condizioni che ha ottenuto in un sistema di equazioni di primo grado in due incognite di risoluzione veramente semplice. Adesso ve lo risolvo facendo un po' più di passaggi che servono per il necessario, perché voglio farvi capire cosa succede:


[math]
\begin{cases} m+q=1 \\
2m+q=3 \end{cases}
[/math]

[math]
\begin{cases} q=1-m \\
2m+1-m=3 \end{cases}
[/math]

Raccolgo

[math]m[/math]
a sinistra ed ottengo:


[math]m(2-1)=3-1\\
\\
m=\ \frac{3-1}{2-1} \to 2[/math]


Vedete se chiamo

[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
i due punti per cui sapevamo che doveva passare la retta, il coefficiente angolare viene uguale a:



Quindi vedete che il coefficiente angolare ci è venuto uguale alla differenza delle ordinate diviso la differenza delle ascisse. Capite adesso che se abbiamo che

[math]m=2[/math]
possiamo subito trovarci il
[math]q[/math]
. Infatti basta recuperare la sostituzione di prima, e uno conclude subito che il
[math]q[/math]
deve essere uguale a questo punto:


[math]q=1-2=-1[/math]


Quindi abbiamo scoperto che la retta che stavamo cercando deve avere equazione:


[math]y=2x-1[/math]


Il grafico della retta sarà dunque:


Se volessimo generalizzare quanto fatto, avremo:


--> Sostituisco le coordinate di

[math]A[/math]
nell'equazione della retta


--> Sostituisco le coordinate di

[math]B[/math]
nell'equazione della retta


--> Risolvo il sistema e trovo

[math]m[/math]
e
[math]q[/math]


--> Trovo subito

[math]m=\frac{Y_{b}-Y_{a}}{X_{b}-X_{a}}[/math]


--> Per trovare

[math]q[/math]
sostituisco le coordinate di uno dei due punti in
[math]y=mx+q[/math]

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