PARABOLA IN MATEMATICA: COSA BISOGNA SAPERE

Oggi vedremo tutto quello che è fondamentale ricordarsi per affrontare gli esercizi sulle parabole. La prima cosa fondamentale da ricordare è che: La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto dato detto fuoco e da una retta data detta direttrice.

Questo significa che, fissato un fuoco e una direttrice, tutti i punti del piano la cui distanza dal fuoco e dalla direttrice è uguale, sono i punti che sono sulla parabola.



Per ricavare l'equazione della parabola si ricalca proprio la definizione che abbiamo visto, e quello che si fa è prendere un generico punto

[math]P[/math]
appartenente alla parabola di coordinate
[math](x,y)[/math]
e si dice che:


[math]P \in parabola\ \ <=> d(P,F)=\ d(P,direttrice)[/math]



Se uno, dopo aver imposto quest'uguaglianza svolge i conti, è possibile dimostrare che nel caso in cui la parabola abbia l'asse di simmetria parallelo all'asse delle

[math]y[/math]
, e questo è il caso che si considera più spesso per comodità, l'equazione diventa qualcosa del tipo:


[math]y=ax^{2}+bx+c[/math]


Dove

[math]a,b,c[/math]
sono tre coefficienti reali ed
[math]a \neq 0[/math]
altrimenti si ricade nell'equazione della retta:



Cerchiamo ora di capire in che modo i coefficienti

[math]a,b,c[/math]
sono collegati al grafico della parabola. Il coefficiente
[math]a[/math]
è collegato direttamente con la concavità della parabola, infatti se
[math]a>0[/math]
, la parabola ha la concavità verso l'alto, come questi due casi qui:



Viceversa, se

[math]a<0[/math]
la parabola ha la concavità verso il basso, come in questi due casi qui:



Inoltre, il modulo di

[math]a[/math]
ha un altro significato ed è infatti direttamente collegato con l'apertura della parabola. Quello che accade è che più è grande il modulo di
[math]a[/math]
, e più la parabola diventa chiusa. Per capire meglio che cosa intendo vi ho riportato qui alcuni esempi numerici, queste sono delle parabole tutte con lo stesso vertice nell'origine, qui l'unica cosa che cambia è il coefficiente
[math]a[/math]
:



Per quanto riguarda gli altri due coefficienti, si ha che il coefficiente

[math]c[/math]
coincide con l'ordinata del punto in cui la parabola interseca l'asse
[math]y[/math]
, in altre parole il coefficiente
[math]c[/math]
gioca un ruolo analogo a quelle delle
[math]q[/math]
nella retta, cioè in pratica il
[math]q[/math]
(intercetto o termine noto) ci diceva quando la retta "sbatteva addosso" all'asse delle
[math]y[/math]
; ecco qui il coefficiente
[math]c[/math]
fa la stessa cosa e ci fornisce l'altezza del punto in cui abbiamo l'intersezione con l'asse delle
[math]y[/math]
.

Per quanto riguarda il coefficiente

[math]b[/math]
esso non ha un'interpretazione grafica così immediata da far vedere, però sappiate che esso è legato alla posizione del vertice, del fuoco e dell'asse di simmetria della parabola.



Un'altra cosa fondamentale da ricordarsi è il collegamento tra i descrittori geometrici della parabola (fuoco, vertice, asse di simmetria e direttrice) e i descrittori algebrici (ossia i parametri

[math]a,b,c[/math]
). Quello che accade è in pratica che è possibile esprimere le coordinate del vertice, le coordinate del fuoco, l'equazione dell'asse di simmetria e l'equazione della direttrice in termini dei parametri
[math]a,b,c[/math]
che compaiono nell'equazione della parabola. Dunque:



- VERTICE

[math]\to (-\frac{b}{2a};-\frac{Δ}{4a}[/math]


- FUOCO

[math]\to (-\frac{b}{2a};\frac{1-Δ}{4a}[/math]


- ASSE DI SIMMETRIA

[math]\to x=\frac{-b}{2a}[/math]


- DIRETTRICE

[math]\to y=-\frac{1+Δ}{4a}[/math]


PER DISEGNARE LA PARABOLA


--> Si trova il vertice;


--> Si trova un punto a caso diverso dal vertice (sostituendo un generico valore di

[math]x[/math]
all'interno dell'equazione e vi trovate la corrispondente
[math]y[/math]
);


--> Si fa il simmetrico di tale punto rispetto all'asse di simmetria;


--> Si traccia il grafico qualitativo.

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