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Definizione


Cosa sono i numeri primi? Un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 divisibile solamente per 1 e per se stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che ha più di due divisori è detto composto.

Esempio


7 essendo divisibile solamente per 1 e 7 è un numero primo, mentre 14 essendo divisibile per 1, 2 e 7 è un numero composto.


Perché 1 non è un numero primo?


Per rispondere a questo frequente interrogativo è bene osservare che, ad esempio, si ha:

[math]14 = 2\cdot 7 \cdot 1[/math]
oppure
[math]14 = 7\cdot 2 \cdot 1\cdot 1[/math]
oppure
[math]14 = 7\cdot 2 \cdot 1\cdot 1\cdot 1\\[/math]
ecc. ecc.

mentre non considerando 1 come numero primo, la scomposizione in fattori primi si riduce a

[math]14 = 2\cdot 7[/math]
oppure
[math]14 = 7\cdot 2\\[/math]

ossia, così facendo, è rispettato il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica secondo cui per ogni numero naturale esiste (a meno dell'ordine) un'unica scomposizione in fattori primi. Dal momento che in matematica è di estrema importanza seguire quanto indicano i vari teoremi, si è deciso che 1 non sia da considerare primo.


Come stabilire se un generico numero naturale è primo?


A meno che il numero considerato non sia abnorme (per questi numeri molti Centri di Ricerca sono tuttora al lavoro) non è affatto difficile stabilire se dato un generico numero naturale maggiore di 1 sia o meno un numero primo. A tale scopo vengono in soccorso i criteri di divisibilità, secondo i quali:

- tutti i numeri che sono pari sono divisibili per 2 e quindi, eccetto 2, non sono primi;

- tutti i numeri che terminano per 5 sono divisibili per 5 e quindi, eccetto 5, non sono primi;

- tutti i numeri la cui somma delle cifre è multiplo di 3 sono divisibili per 3 e quindi, eccetto 3, non sono primi;

- ecc. ecc.


Cosa si intende con numeri primi gemelli?


Due numeri sono primi gemelli se entrambi sono primi e il valore assoluto della loro differenza è pari a 2. Per esempio, dati i numeri primi 3 e 5 essendo |3 - 5| = 2 essi si dicono gemelli, invece dati i numeri primi 7 e 11 essendo |7 - 11| = 4 essi non sono gemelli.


Cosa si intende con numeri primi tra loro?


Due o più numeri sono primi tra loro (oppure, equivalentemente, numeri coprimi) se hanno come unico divisore comune l'unità. Ad esempio, sono numeri coprimi 6, 9, 25 mentre non sono coprimi i numeri 6, 9 dal momento che hanno come divisore comune 3.


Teorema sull'infinità dei numeri primi


<<I numeri primi sono più di una qualsiasi assegnata moltitudine di numeri primi.>>

La dimostrazione più antica in nostro possesso è quella di Euclide che si basa sul metodo per assurdo.

Si ipotizza l'esistenza di un numero finito di numeri primi

[math]p_1,\,p_2,\,\dots,\,p_n[/math]
e si considera il numero
[math]q := p_1\,p_2\,\cdots\,p_n + 1[/math]
che essendo un naturale maggiore dell'unità può essere primo o composto:


i)

[math]q[/math]
non può essere primo perché abbiamo assunto che i soli numeri primi sono i
[math]p_i\\[/math]
;

ii)

[math]q[/math]
non può essere composto perché altrimenti dovrebbe esistere un fattore primo coincidente con un
[math]p_i[/math]
che dividerebbe sia
[math]q[/math]
che il prodotto dei
[math]p_i[/math]
e quindi dovrebbe dividere la propria differenza
[math]q - p_1\,p_2\,\cdots\,p_n = 1[/math]
, il che è impossibile.


In conclusione,

[math]q[/math]
non può essere né primo e né composto, il che è palesemente assurdo, quindi i numeri primi non possono essere finiti, come volevasi dimostrare.

Tabella dei numeri primi minori di 1000


[math]
\begin{array}{cc}
2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43, \\
47 & 53 & 59 & 61 & 67 & 71 & 73 & 79 & 83 & 89 & 97 & 101 & 103 & 107, \\
109 & 113 & 127 & 131 & 137 & 139 & 149 & 151 & 157 & 163 & 167 & 173 & 179 & 181, \\
191 & 193 & 197 & 199 & 211 & 223 & 227 & 229 & 233 & 239 & 241 & 251 & 257 & 263, \\
269 & 271 & 277 & 281 & 283 & 293 & 307 & 311 & 313 & 317 & 331 & 337 & 347 & 349, \\
353 & 359 & 367 & 373 & 379 & 383 & 389 & 397 & 401 & 409 & 419 & 421 & 431 & 433, \\
439 & 443 & 449 & 457 & 461 & 463 & 467 & 479 & 487 & 491 & 499 & 503 & 509 & 521, \\
523 & 541 & 547 & 557 & 563 & 569 & 571 & 577 & 587 & 593 & 599 & 601 & 607 & 613, \\
617 & 619 & 631 & 641 & 643 & 647 & 653 & 659 & 661 & 673 & 677 & 683 & 691 & 701, \\
709 & 719 & 727 & 733 & 739 & 743 & 751 & 757 & 761 & 769 & 773 & 787 & 797 & 809, \\
811 & 821 & 823 & 827 & 829 & 839 & 853 & 857 & 859 & 863 & 877 & 881 & 883 & 887, \\
907 & 911 & 919 & 929 & 937 & 941 & 947 & 953 & 967 & 971 & 977 & 983 & 991 & 997.
\end{array}\\
[/math]

In totale si contano 168 numeri primi inferiori a 1000.


Elenco delle coppie di numeri primi gemelli minori di 1000


[math]
\begin{aligned}
& 3, \; 5 \; ;
& \\
& 5, \; 7 \; ;
& \\
& 11, \; 13 \; ;
& \\
& 17, \; 19 \; ;
& \\
& 29, \; 31 \; ;
& \\
& 41, \; 43 \; ;
& \\
& 59, \; 61 \; ;
& \\
& 71, \; 73 \; ;
& \\
& 101, \; 103 \; ;
& \\
& 107, \; 109 \; ;
& \\
& 137, \; 139 \; ;
& \\
& 149, \; 151 \; ;
& \\
& 179, \; 181 \; ;
& \\
& 191, \; 193 \; ;
& \\
& 197, \; 199 \; ;
& \\
& 227, \; 229 \; ;
& \\
& 239, \; 241 \; ;
& \\
& 269, \; 271 \; ;
& \\
& 281, \; 283 \; ;
& \\
& 311, \; 313 \; ;
& \\
& 347, \; 349 \; ;
& \\
& 419, \; 421 \; ;
& \\
& 431, \; 433 \; ;
& \\
& 461, \; 463 \; ;
& \\
& 521, \; 523 \; ;
& \\
& 569, \; 571 \; ;
& \\
& 599, \; 601 \; ;
& \\
& 617, \; 619 \; ;
& \\
& 641, \; 643 \; ;
& \\
& 659, \; 661 \; ;
& \\
& 809, \; 811 \; ;
& \\
& 821, \; 823 \; ;
& \\
& 827, \; 829 \; ;
& \\
& 857, \; 859 \; ;
& \\
& 881, \; 883 \; .
& \\
\end{aligned}\\[/math]
.


In totale si contano 35 coppie di numeri primi gemelli inferiori a 1000.

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