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Teorema del valore medio integrale

Sia

[math]f[/math]
una funzione reale continua in un intervallo
[math][a,b][/math]
chiuso e limitato.
Necessariamente, esiste un punto
[math]c \in [a,b][/math]
tale che:


[math]\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx = f(c)[/math]

Dimostrazione
Stando al teorema di Weierstrass, esistono nell’intervallo

[math][a,b][/math]
, in cui
[math]f[/math]
è continua, due punti
[math]m[/math]
e
[math]M[/math]
che corrispondono rispettivamente al valore minimo e al valore massimo della funzione
[math]f[/math]
in
[math][a,b][/math]
.
In altre parole:

[math]f(m) \le f(x) \le f(M) \forall x \in [a,b][/math]

Per la proprietà di monotonia dell’integrale segue che:

[math]\int_{a}^{b} f(m) dx \le \int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} f(M) dx \forall x \in [a,b][/math]

Ed essendo

[math]f(m)[/math]
e
[math]f(M)[/math]
costanti:


[math]\int_{a}^{n} f(m) dx = f(m) \int_{a}^{b} dx = f(m) \cdot (b-a)[/math]

[math]\int_{a}^{n} f(M) dx = f(M) \int_{a}^{b} dx = f(M) \cdot (b-a)[/math]

Sostituendo quanto ottenuto ai termini della relazione precedente, si ottiene che:

[math]f(m) \cdot (b – a) \le \int_{a}^{b} f(x) dx \le f(M) \cdot (b – a) \forall x \in [a,b][/math]

E dividendo i termini per

[math](b-a)[/math]
, risulta:


[math]f(m) \le \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx \le f(M) \forall x \in [a,b][/math]

Infine, sapendo che, in quanto continua, la funzione

[math]f[/math]
assume nell’intervallo
[math][a,b][/math]
tutti i valori compresi tra i suoi estremi inferiore e superiore in
[math][a,b][/math]
, dovrà necessariamente esistere un punto
[math]c[/math]
tale per cui:


[math]f(c) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx \text{ per } x \in [a,b][/math]

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