STUDIO DI INTEGRALI DEFINITI, AREA, SIGNIFICATO GEOMETRICO ED AREA TRA DUE CURVE

Abbiamo il seguente integrale definito:

[math]\int_{a}^{b}f(x)dx [/math]


La cosa che dobbiamo innanzitutto capire è che l'integrale definito della funzione

[math]f(x)[/math]
tra l'estremo
[math]a[/math]
e dell'estremo
[math]b[/math]
è collegato all'area compresa tra il grafico di
[math]f(x)[/math]
, l'asse delle ascisse e le rette verticali
[math]x=a[/math]
e
[math]x=b[/math]
. Tuttavia il risultato di quest'integrale definito, che vi ricordo che sarà un numero, non è uguale necessariamente all'area ma più in generale si dice che è un'area orientata, ovvero un'area compresa in segno.

Per capire meglio che cosa intendo con area in segno, consideriamo i seguenti esempi. Ad esempio nel primo grafico della funzione che vi ho disegnato, è una funzione positiva, ossia il cui grafico è sempre al di sopra all'asse della

[math]x[/math]
.

In questo caso se andiamo a calcolare l'integrale tra

[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
di
[math]f(x)[/math]
il risultato che otteniamo è proprio la misura dell'area della superficie delimitata tra il grafico della funzione
[math]f(x)[/math]
, l'asse delle ascisse e le rette verticali
[math]x=a[/math]
e
[math]x=b[/math]
.

Quindi se chiamiamo l'area delimitata tra il grafico della funzione

[math]f(x)[/math]
, l'asse delle ascisse e le rette verticali
[math]x=a[/math]
e
[math]x=b[/math]
,
[math]A[/math]
quello che otteniamo è proprio la misura di
[math]A[/math]
. Quindi:

[math]\int_{a}^{b}f(x)dx\ =\ A [/math]


Ora consideriamo quest'altro esempio:

Se andiamo a fare la stessa cosa in quest'altro esempio, dove vedete la funzione che ho disegnato questa volta è sempre negativa all'interno dell'intervallo

[math](a,b)[/math]
, quindi se in questo secondo esempio andiamo a calcolare l'integrale definito tra
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
di
[math]f(x)[/math]
e se chiamiamo la misura di quella superficie
[math]A[/math]
, quello che otteniamo non è proprio
[math]A[/math]
ma otteniamo
[math]-A[/math]
, quindi la misura della superficie delimitata dalla funzione delle due rette e l'asse dell'ascissa, però cambiata di segno. Quindi:

[math]\int_{a}^{b}f(x)dx\ =\ -A [/math]


Ora se consideriamo quest'ultimo esempio e facciamo la stessa cosa anche in quest'ultimo:

Vediamo che in questo caso non c'è stato bisogno di disegnare le rette

[math]x=a[/math]
e
[math]x=b[/math]
, perché gli estremi
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
che ho preso sono proprio coincidenti con punti dove la funzione interseca l'asse delle ascisse. Quindi se andiamo a calcolare l'integrale definito tra
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
e
[math]f(x)[/math]
, in questo terzo caso, e chiamiamo l'area "superiore"
[math]A_{1}[/math]
e l'area "inferiore"
[math]A_{2}[/math]
, il risultato dell'integrale sarà:

[math]\int_{a}^{b}f(x)dx\ =\ A_{1}-A_{2} [/math]


Come possiamo osservare, la situazione cambia a secondo di "che cosa fa" la funzione che stiamo considerando all'interno dell'intervallo di integrazione; perché se la nostra funzione all'interno dell'intervallo di integrazione

[math](a,b)[/math]
lungo cui stiamo integrando è sempre positiva, allora il risultato è effettivamente vi coincide con l'area della superficie. Se la funzione è sempre negativa ci verrà meno la misura dell'area. Se invece la funzione è in parte negativa e poi in parte diventa positiva, o viceversa, quello che accade è che il risultato non coincide in nessun modo con l'area, ma in un certo senso una somma di contributi positivi e negativi all'area.

Area tra due curve

Diamo un'occhiata al grafico che ho disegnato:


Vedete che ho disegnato una

[math]f(x)[/math]
e una
[math]g(x)[/math]
e supponiamo che l'obbiettivo sia quello di calcolare l'area della regione di piano delimitata dai grafici di queste due funzioni e dalle rette verticali
[math]x=a[/math]
e
[math]x=b[/math]
. In altre parole supponiamo di voler calcolare l'area della regione
[math]A[/math]
. Come procediamo per calcolarla?

Allora, sicuramente deve essere vero che se andiamo a calcolare l'integrale tra

[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
della funzione
[math]f(x)[/math]
(vedete che la funzione
[math]f(x)[/math]
è positivo) questo ci fornirebbe l'area delimitata dal grafico della
[math]f[/math]
, l'asse dell'ascisse e le rette verticali
[math]x=a[/math]
e
[math]x=b[/math]
. (In azzurro nel grafico). Quindi:

[math]\int_{a}^{b}f(x)dx [/math]

D'altra parte, se andiamo a calcolare l'integrale tra

[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
e la
[math]g(x)[/math]
, questo a cosa corrisponderà? Vedete che la
[math]g(x)[/math]
è anche lei positiva all'interno di quest'intervallo e quindi questo integrale definito mi fornirebbe l'area della parte in verde. Quindi:

[math]\int_{a}^{b}g(x)dx [/math]


Quindi, come faccio a calcolare la

[math]A[/math]
che mi interessa? Vedete che la
[math]A[/math]
la ottengo proprio facendo l'area azzurra meno l'area verde, perché se a tutta l'area azzurra, sottraggo l'area verde, quello che ottengo è proprio l'area delimitata tra due funzioni. Quindi per trovare
[math]A[/math]
è sufficiente che sottraiamo i due integrali:

[math]\int_{a}^{b}f(x)dx\ -\ \int_{a}^{b}g(x)dx[/math]


D'altra parte vediamo che essendo entrambi gli integrali calcolati tra

[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
, si può semplicemente scrivere che l'area è uguale a:

[math]A=\ \int_{a}^{b}f(x)dx\ -\ \int_{a}^{b}g(x)dx\\
\ \ =\ \int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx[/math]


Questa è una formula di validità generale che ci permette di calcolare l'area compresa tra il grafico di

[math]f(x)[/math]
e il grafico di
[math]g(x)[/math]
, e le rette verticali
[math]x=a[/math]
e
[math]x=b[/math]
. La cosa che è interessante di questa formula è che vale anche se il grafico di
[math]f(x)[/math]
o il grafico di
[math]g(x)[/math]
si trovano in regioni del piano al di sotto dell'asse delle
[math]x[/math]
quindi vale anche se
[math]f(x)[/math]
oppure
[math]g(x)[/math]
o magari entrambi o magari solo una parte di qualcuna delle due, diventa negativa all'interno dell'intervallo
[math](a,b)[/math]
. Quindi la formula varrà sempre purché si esegua sempre come:

[math]\int\ quella\ sopra\ -\ quella\ sotto[/math]

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