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Funzioni a due variabili

FUNZIONI REALI A DUE VARIABILI
Definizione :
si definisce funzione reale a 2 variabili un’applicazione
f:AxB c RxR C C R
(x,y ) z=f(x,y) ϵ R
Questa applicazione ad ogni coppia (x,y) di numeri reali associa 1 e un solo valore reale z=f(x,y)

Dominio o ( campo di esistenza):
data una funzione f:AxB c RxR c C R si definisce dominio, o campo di esistenza l’insieme di tutti i valori che si possono attribuire alle variabili indipendenti x ed y, in modo tale che esiste e sia reale il corrispondente valore di z=f(x,y)

FUNZIONE DOMINIO
1. F. razionale intera D=RxR
2. F. fratta D=RxR / i valori che annullano il denpminatore≠0
3. F. irrazionale D={(x,y) ϵ RxR / radicando ≥ 0 }

4. F. logaritmica D={(x,y) ϵ RxR / logaritmico > 0 }
5. F. esponenziale D=RxR

Funzione irrazionale:
la determinazione del dominio di questa funzione comporta la risoluzione grafica di una disequazione a due variabili. Per risolvere una disequazione in due variabili graficamente si procede nel seguente modo:
1. PASSARE ALL’EQUAZIONE ASSOCIATA
2. RAPPRESENTARE LA FUNZIONE OTTENUTA AL PUNTO PRECEDENTE
3. DATO CHE LA FUNZIONE DIVIDE IL PIANO IN DUE SEMIPIANI, SI PRENDE UN PUNTO APPARTENENTE AL SEMIPIANO
4. SOSTITUISCO LE COORDINATE DEL PUNTO NELLA DISEQUAZIONE SE ESSA E’ SODDISFATTA ALLORA IL SEMIPIANO GIUSTO E’ QUELLO CHE CONTIENE IL PUNTO ALTRIMENTI SI PRENDE IL SEMIPIANO COMPLEMENTARE.

Z= x+y-1 D={ (x,y) ϵ RxR / x+y-1

Funzione logaritmica:
z=log (x+y-1) D=={ (x,y) ϵ RxR / x+y-1> 0}


Rapprsentazione grafica :
1. Nel piano zy
2. Nel piano zx
3. Nel piano xy: rappresentazione tramite le curve di livello

1. Nel piano zy partendo dalla funzione z=F(x,y) si pone x=costante (K), di conseguenza la funzione diventa ad una variabile z=(K,y) e si può rappresentare nel piano.
2. Nel piano zx si pone y=costante (K), la funzione diventa ad una variabile z=f(x, K)
3. Nel piano xy si pone z=costante (K), la funzione diventa f(x, y)=K
Es. z=2x+y-3
1. Si pone z=K 2x+y-3=K
2. Si esplicita la funzione e riconosce il tipo di curva y=-2x+3+K
3. Si rappresentano graficamente alcune linee di livello (assegnando a K dei valori arbitrari).
Per K=0 y=-2x+3 A=(0,3) B=(1,1)

Per K=1 y=-2x+3+1 C=(0,4) D=(1,2)
Per K=-1 y=-2x+3-1 E=(0,2) F=(1,0)

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