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Campo d’esistenza di una funzione

Si definisce campo d’esistenza di una funzione l’insieme dei valori che posso attribuire alla variabile indipendente x per ottenere la variabile dipendente y.

Funzioni razionali intere
Per le funzioni razionali intere, il campo d’esistenza è costituito da tutto l’insieme dei numeri reali.
Es.: f(x)=3x⁶-2x²+x-8
C.E.= R
Funzioni razionali fratte
Il campo d’esistenza di una funzione razionale fratta è dato da tutto R, tranne i valori di x che annullano il denominatore, poiché non ha senso una frazione con denominatore nullo.
Es.: f(x)=2x+1/x-3
C.E.= R-{3} perché 3-3=0
Funzioni irrazionali
L’insieme di definizione delle funzioni algebriche irrazionali, cioè funzioni del tipo y=radice ennesima di f(x), dove f(x) è un polinomio in x di grado qualunque possono essere i seguenti:

• Se l’indice è dispari, non c’è nessuna limitazione e il campo d’esistenza dipende da chi è f(x);

Indice dispari irrazionale intero
es.: y=radice cubica di -x²+7x-6
f(x)= x²+7x-6
C.E.= R+ più perché deve essere tutto positivo

Indice dispari irrazionale fratto
Es.: y=radice cubica di x-1/x(x+1)
F(x)=x-1/x(x+1)
C.E.=R-{0;-1} perché 0(0+1)=0 e -1(-1+1)=0
• Se l’indice è pari occorre che f(x) sia maggiore o uguale a 0, perciò il campo d’esistenza terrà conto di questa condizione.
Es.: y=radice quadrata di x²-5x+4
x²-5x+4>=0 e si risolve usando la parabola

Funzione trascendente logaritmica
L’insieme d’esistenza delle funzioni logaritmiche, cioè funzioni del tipo: y=logₐf(x), è costituito dall’insieme dei numeri reali che rendono positivo l’argomento f(x) del logaritmo.
Es.: y=log(x-3)
x-3>0
x>3
C.E.=R-{x>3}

Funzione trascendente esponenziale
L’insieme d’esistenza delle funzioni esponenziali, cioè funzioni del tipo: y=a elevato a f(x), con a>0 e diverso da 1, è costituito da tutti i numeri reali se l’esponente è un’espressione intera; negli altri casi bisogna valutare f(x). In altre parole il campo d’esistenza delle funzioni esponenziali è dato dal campo d’esistenza dell’esponente.
Es.: y=a ͯ
Esponente x (razionale intera) quindi C.E.=R
Es.: y=a elevato a 2/x+1
Esponente 2/x+1 (razionale fratta) quindi C.E.=R-{-1}

Funzione trascendente goniometrica

L’insieme d’esistenza delle funzioni goniometriche senx e cosx è dato dall’insieme di tutti i numeri reali, mentre per funzione tgx occorre escludere dall’insieme dei numeri reali i multipli di p greco/2.

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