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Formula fondamentale del calcolo integrale

Sia

[math]f[/math]
una funzione reale continua in un intervallo
[math][a,b][/math]
chiuso e limitato, e la funzione
[math]G[/math]
una primitiva di
[math]f[/math]
nell’intervallo
[math][a,b][/math]
, tale che (per definizione di primitiva)
[math]G’(x) = f(x)[/math]
.
Allora, l’integrale definito della funzione
[math]f[/math]
nell’intervallo
[math][a,b][/math]
è dato dalla differenza della funzione
[math]G[/math]
valutata negli estremi
[math]b[/math]
e
[math]a[/math]
, cioè:


[math]\int_{a}^{b} f(t) dt = G(b) – G(a)[/math]

Dimostrazione
Si riprende la funzione integrale

[math]F[/math]
, così definita:


[math]F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt[/math]

Le funzioni

[math]F[/math]
e
[math]G[/math]
sono entrambe primitive della funzione
[math]f[/math]
in base alla loro definizione, pertanto deve esistere una costante
[math]c \in \textbf{R}[/math]
tale che:


[math]G(x) = F(x) + c = \int_{a}^{x} f(t) dt + c \forall x \in [a,b][/math]

Ponendo

[math]x = a[/math]
nella formula ottenuta risulta che:


[math]G(a) = F(a) + c = \int_{a}^{a} f(t) dt + c = c[/math]

Dunque

[math]G(a) = c[/math]
e, riprendendo la precedente scrittura relativa a
[math]G(x)[/math]
, si ottiene:


[math]G(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt + G(x)[/math]

Infine, ponendo

[math]x=b[/math]
segue che:


[math]G(b) = \int_{a}^{b} f(t) dt + G(a) \rightarrow \int_{a}^{b} f(t) dt = G(b) – G(a)[/math]

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