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Esponenziali e logaritmi

Completamenti
1. La funzione esponenziale y=a ͯ, con a>1, ha per grafico una curva con andamento crescente che si sviluppa nei quadranti 1 e 2ed ha per asintoto 0. Se a=1, il grafico è una linea orizzontale y=1. Se invece a è compreso tra 0 e 1 la curva ha andamento decrescente.
2. In un’equazione esponenziale l’incognita compare come a ͯ=b. l’equazione esponenziale perde di significato se la base è <0.
3. Si chiama logaritmo in base a del numero b, l’esponente x da dare a a per avere come risultato b. in simboli: x=logₐb; il termine b si chiama argomento del logaritmo.
4. Il grafico della funzione logaritmica y=logₐx è simmetrico del grafico della funzione esponenziale rispetto alla retta y; ha per asintoto l’asse delle y e si sviluppa nei quadranti I e IV.
5. I teoremi sui logaritmi sono relativi alle operazioni di:

a. Prodotto: logₐ(b*c)=logₐb+logₐc
b. Divisione: logₐ(b/c)=logₐb-logₐc
c. Potenza: logₐ(b ͯ)=x*logₐb
d. Radice: logₐ(radice n di c)=1/n*logₐc
6. Il logₐb è positivo se si ha la base a>1 e l’argomento b>0 oppure se la base a è compresa fra 0 e 1 e l’argomento b<0.
7. Fra tutti i sistemi dei logaritmi, particolarmente importanti sono:
a. Il sistema di logaritmi in base e=2,71 che si chiamano logaritmi neperiani e si indicano con il simbolo ln;
8. Per risolvere un’equazione esponenziale a ͯ=b si utilizzano la base a di entrambi i membri.
9. Un’equazione si dice logaritmica se l’incognita compare nell’argomento. L’equazione logaritmica perde significato se l’argomento è minore di 0.
10. Per risolvere un’equazione logaritmica si utilizzano i logaritmi per trasformarla nella forma logₐA(x)=logₐB(x); quindi si eguagliano i due argomenti. Si risolve l’equazione così ottenuta, verificando se le soluzioni soddisfino le condizioni.

Vero o falso
1. L’equazione log₄(ax+b)=1 ammette soluzione solo se ha soluzione l’equazione ax+b=0. FALSO (perché non esiste logaritmo di 0).
2. L’equazione 4 ͯ=0 ha come soluzione x=0. FALSO (perché il 4 non si annulla mai).
3. La disequazione 7 ͯ<5 ha come soluzione x<5/7. FALSO.
4. L’equazione 3 ͯ=-9 non ha soluzioni. FALSO.
5. log x²=2log x VERO.
6. e elevato a ln3= 3. VERO
7. 10 elevato a log e= e VERO

Quesiti a risposta multipla
1. La disequazione log in base 1/3 di x>0 ha come soluzione:
a. x<1
b. x<0

c. 0<x<1
d. x<0,x>1
2. è possibile calcolare il logₐb solo se:
a. a>0 e b<0
b. a=1 e b=0
c. a>=0 e b>0
d. a>0 e b>0
3. i grafici delle funzioni y=2 ͯ e y=1/2 ͯ sono:
a. simmetrici rispetto all’asse x e si intersecano nel punto (1,0)
b. simmetrici rispetto all’asse y e si intersecano nel punto (0,1)
c. il primo è traslato rispetto al secondo e si intersecano nel punto (0,-1)
d. non hanno punti in comune
4. un’equazione esponenziale del tipo 2 elevato a bx+c=1 ammette soluzioni:
a. sempre
b. solo se bx+c=0 ha radici reali
c. solo se b>0
d. solo se bx+c=1 ha radici reali.
5. Dopo aver tracciato i grafici delle funzioni logaritmiche del tipo y=logₐx, dire n quale dei seguenti casi assume valori negativi:
a. a>1 e x>1
b. 0<a<1 e x=1
c. Mai
d. a>1 e 0<x<1
6. il valore di log in base ¼ di 32 è:
a. -5/2
b. 5
c. 5/2
d. Non esiste
7. Un logaritmo decimale è:
a. Un logaritmo con argomento in base 10
b. Un logaritmo in base 10
c. Un numero minore di 0
d. Un numero espresso con la virgola
8. La disequazione (2/3) ͯ >=(2/3)³ ha soluzione:
a. x<=3
b. x>=3
c. 0<x<=3
d. È sempre verificata

risposte esatte: 1A, 2D, 3B, 4B, 5D, 6A, 7B, 8A

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