EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Una equazione differenziale è una equazione funzionale nella quale la variabile è proprio una funzione.
Si definisce equazione differenziale di ordine n la seguente:

F ( x, y, y’ ,y’’, …… yn) = 0

Che rappresenta una relazione tra la variabile x, la variabile y, e le derivate y fino all’ordine n.

Per soluzione o integrale di una equazione differenziale di ordine n si intende una funzione y = g(x) che sia derivabile n volte in un sottoinsieme i del dominio della funzione data, e che verifica l’equazione data:

F [ x, g(x), g’(x), …… gn(x) ] = 0

Inoltre, si definisce integrale generale o soluzione generale di una equazione differenziale di ordine n una qualunque funzione del tip y = g(x,c1,c2…cn) che sia derivabile n volte e che verifichi l’equazione differenziale data.

Attribuendo alle costanti dei valori particolari, l’integrale generale diventa integrale particolare.

TEOREMA DI CAUCHY PER LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL 1° ORDINE

Se la funzione f(x,y) è una funzione continua in un sottoinsieme D, assieme alla sua derivata prima, e se P0 è un punto generico di D, allora l’equazione differenziale y’ = f(x,y) ammette solo una soluzione y = g(x) tale che y0 = g(x0). Questa condizione viene definita anche condizione iniziale.

TEOREMA DI CAUCHY PER LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL 2° ORDINE

Se y’’ = f(x,y,y’) è continua in un sottoinsieme D dello spazio e se sono continue anche le derivate parziali, e se P0 (x0, y0, y’0) appartiene al sottoinsieme D, allora esiste ed è unica la funzione y = g(x) tale che g(x0) = y0 e g’(x0) = y’0

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