ely90 di ely90
Genius 4638 punti

DERIVATE

Teorema sulle funzioni continue e derivabili: (IP) se una funzione y = f(x) è derivabile nel pt x0, allora (TS) in quel punto è continua. Non vale il viceversa perché l’essere continua in x0 non garantisce che nel medesimo punto sia anche derivabile. Tuttavia, non essendo continua in x0, non sarà neppure derivabile in x0.

Crescenza e decrescenza: Si dice che in un punto x0 (appartenente al dominio) la funzione y = f(x) sia crescente, qualora si possa determinare un intorno completo di tale che per ogni “x” appartenente a detto intorno, si abbia f(x)<f(x0) per x<x0, mentre f(x)>x0 per x>x0 (Se si ha ≤ o ≥ si dice “non decrescente”). Si dice invece che in un punto x0 (appartenente al dominio) la funzione y = f(x) sia decrescente, qualora si possa determinare un intorno completo di tale che per ogni “x” appartenente a detto intorno, si abbia f(x)<f(x0) per x>x0, mentre f(x)>x0 per x<x0. (Se si ha ≤ o ≥ si dice “non crescente”). Se nel dato intervallo è sempre crescente o decrescente si chiama “monotona”.

Teorema sulla crescenza e decrescenza(1): data y = f(x) nel D (sottoinsieme di R) derivabile nel punto x0 appartenente al dominio, se f I(x0)>x0y = f(x) in x0 è crescente, se invece f I(x0)<x0y = f(x) in x0 è decrescente (Si richiama al significato geometrico di derivata come coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in oggetto nel punto con ascissa x0). Teorema(2): data la funzione y = f(x) è derivabile nel pt x0 appartenente al D, se f(x) è crescentefI(x)≥0, se invece f(x) è decrescente fI(x)≤0. Nei punti dove la derivata vale zero (fI=0), la y = f(x) può essere crescente o decrescente, oppure no.

Punti stazionari o critici (sono quelli in cui è nulla la derivata della funzione): si ha un massimo relativo in x0 (come radice di y = f(x) appartenente al dominio) se la funzione è crescente per x<x0 e decrescente per x>x0, quindi il segno della derivata è positivo a sinistra di x0 e negativo alla sua destra. Si ha un minimo relativo in x0 (come radice di y = f(x) appartenente al dominio) se la funzione è decrescente per x<x0 e crescente per x>x0, quindi il segno della derivata è positivo a destra di x0 e negativo alla sua sinistra. I punti dove la curva attraversa la tangente ma non vi è né massimo né minimo (perché la funzione resta sempre o crescente o decrescente sia a destra sia a sinistra di x0) sono detti flessi a tangente orizzontale (ascendente o discendente).

Teorema (C.N.): se y = f(x) ha un massimo o minimo relativi nel punto x0 appartenente a D ed in tale punto x0 è derivabile, allora fI(x0)=0, dimostrabile mediante il significato geometrico di derivata perché la retta tg è // all’asse delle ascisse m = 0 = fI(x0). Tale condizione non è sufficiente per l’esistenza di massimi e minimi relativi poiché possono esistere pt dove la derivata si annulla ma non si hanno massimi e minimi (tali punti fI(x)=0 sono chiamati “punti critici o stazionari”).

Registrati via email