REGOLE DI DERIVAZIONE: DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA

Oggi daremo un'occhiata a come si derivano le funzioni composte e ci occuperemo in particolare della cosiddetta chain rule, la regola della catena. L'idea è che la derivata di una funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, e la derivata della funzione interna. Quindi se

[math]f[/math]
e
[math]g[/math]
sono due funzioni, allora la derivata di:


[math]D[f(g(x))]\ =\ f'(g(x))*g'(x)[/math]


Per inciso, vi faccio notare che questo simbolo

[math]D[/math]
, è un modo alternativo di indicare la derivata, quindi quando scrivete
[math]D[f(g(x))][/math]
state dicendo la derivata della funzione
[math]f(g(x))[/math]
.

Quando uno la vede la prima volta, questa regola può sembrare piuttosto complicata, perché infatti bisogna fare il prodotto tra la derivata di una funzione calcolata in un'altra funzione e poi moltiplicare il tutto per un'altra derivata, quindi sembra una cosa un pochino complessa da fare. In realtà vi garantisco che è molto semplice e per convincervi di questo, consideriamo un primo esempio:

Proviamo a calcolare la derivata di:


[math]y=sin(x^{2})[/math]


E vedete che in questo caso siamo difronte ad una funzione composta perché abbiamo la funzione

[math]x^{2}[/math]
, in un certo senso, contenuta all'interno della funzione
[math]sin(x)[/math]
. E quindi in riferimento alla formula che abbiamo visto prima, è come se:


[math]f(x)=sin\ x\ ,\ g(x)=x^{2}[/math]


Proviamo a calcolarci la derivata applicando la regola, che cosa dobbiamo fare? La regola ci dice di prendere la derivata della funzione esterna, e quindi per noi la derivata del seno è il coseno, avente però come argomento la funzione interna, quindi come argomento gli mettiamo la nostra

[math]g(x)[/math]
cioè
[math]x^{2}[/math]
e tutto ciò lo dobbiamo moltiplicare per la funzione interna, quindi per la derivata di
[math]g(x)[/math]
cioè
[math]2x[/math]
. Quindi:


[math]y=sin(x^{2})\\
\\
y'=cos(x^{2})*2x[/math]


Vedete quindi che, facendo riferimento alla formula generale:


-->

[math]cos(x^{2})[/math]
rappresenta
[math]f'(g(x))[/math]


-->

[math]2x[/math]
rappresenta
[math]g'(x)[/math]


Proviamo adesso a calcolarci la derivata di:


[math]y=ln(sin\ x)[/math]


In questo caso, la funzione che gioca il ruolo di esterna, quindi quella che nella formula avevamo chiamato

[math]f(x)[/math]
sarebbe il logaritmo naturale di
[math]x[/math]
, mentre la funzione interna, quindi quella che gioca il ruolo di argomento della funzione
[math]f[/math]
, sarebbe il
[math]sin(x)[/math]
perché vedete che al seno è "intrappolato" in un certo senso dentro al logaritmo. Quindi:


[math]f(x)=ln\ x\ ,\ g(x)=sin\ x[/math]


Proviamo a calcolarci la derivata: allora dobbiamo fare la derivata della funzione esterna mettendoci però come argomento non

[math]x[/math]
, ma la funzione interna. Quindi il ragionamento che uno deve fare è: Qual è la derivata della funzione logaritmo di
[math]x[/math]
, cioè della funzione esterna? Sarebbe
[math]\frac{1}{x}[/math]
, ecco, allora invece di scrivere
[math]\frac{1}{x}[/math]
ci mettiamo la funzione interna, cioè
[math]sin(x)[/math]
. E tutto questo lo dobbiamo moltiplicare per la derivata della funzione interna, cioè in questo caso per la derivata della funzione seno che è il coseno. Dunque:


[math]y=ln(sin\ x)\\
\\
y'=\frac{1}{sin\ x}*cos\ x=\frac{cos\ x}{sin\ x}=cotg\ x[/math]


Vedete quindi che, facendo riferimento alla formula generale:


-->

[math]\frac{1}{sin\ x}[/math]
rappresenta
[math]f'(g(x))[/math]


-->

[math]cos\ x[/math]
rappresenta
[math]g'(x)[/math]

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