DERIVATA DI f(x) ELEVATO ALLA g(x)

Oggi ci occuperemo di capire come fare a derivare tutte quelle funzioni che si presentano nella forma

[math][f(x)]^{g(x)}[/math]
, come ad esempio
[math]y=x^{x}[/math]
o
[math]y=(sin\ x)^{cos\ x}[/math]
. Cominciamo con l'occuparci della prima funzione, e quindi proviamo a derivare:


[math]y=x^{x}[/math]


E qui la cosa importante da notare è che in questa funzione sono variabili sia la base che l'esponente, e quindi non possiamo usare la regola di derivazione delle potenze, se vi ricordare infatti non posso usare

[math][x^{α}]'=αx^{α-1}[/math]
poiché l'esponente non è costante. Questa regoletta funziona solo quando l'esponente
[math]α[/math]
è una costante, noi invece abbiamo un esponente variabile e quindi questa regoletta qui non possiamo utilizzarla, dobbiamo inventarci qualcos'altro:


IDEA VINCENTE:

[math]x^{x}=e^{ln(x^{x})}=e^{x\ ln\ x}[/math]


A questo punto, ricordandoci le proprietà dei logaritmi, possiamo riscrivere l'esponente in questo modo qui:

[math]e^{x\ ln\ x}[/math]
, infatti c'è una proprietà che dice che si può prendere l'esponente dell'argomento di un logaritmo e portarlo fuori davanti al logaritmo, quindi questo esponente
[math]x[/math]
lo potete portare davanti ottenendo
[math]x*ln\ x[/math]

Ora, avendo scoperto che

[math]x^{x}=e^{x\ ln\ x}[/math]
, è anche chiaro che derivare
[math]x^{x}[/math]
è quindi equivalente a derivare
[math]e^{x\ ln\ x}[/math]
. Ma noi questo lo sappiamo fare agevolmente, perché vedete che si tratta di una funzione composta, infatti abbiamo l'esponenziale che ha dentro un'altra funzione, e questa funzione più interna è a sua volta il prodotto di due funzioni. E quindi ricordando come si derivano le funzioni composte, uno conclude subito che la derivata è uguale a:


[math][x^{x}]'=[e^{x\ ln\ x}]=e^{x\ ln\ x}*[ln\ x+\not{x}*\frac{1}{\not{x}}]=\\
\\
=\ e^{x\ ln\ x}[ln\ x+1]=x^{x}[ln\ x +1] \to y'=x^{x}[ln\ x+1][/math]


Proviamo a calcolarci adesso la derivata della seconda funzione, che era:


[math]y=(sin\ x)^{cos\ x}[/math]


E vediamo che ci troviamo di nuovo in una situazione in cui abbiamo una certa funzione elevata ad un'altra funzione. E quindi possiamo applicare lo stesso trucchetto di prima, e riscrivere la nostra funzione come:


[math]y=(sin\ x)^{cos\ x}=e^{ln(sin\ x) cos\ x}=e^{cos\ x*ln(sin\ x)}[/math]


E quindi nel calcolando la derivata, otteniamo:


[math]y'=e^{cos\ x*ln(sin\ x)}[-sin\ x ln(sin\ x)+cos\ x* \frac{1}{sin\ x}*cos\ x]=\\
\\
=\ (sin\ x)^{cos\ x}[-sin\ x ln(sin\ x)+cos\ x*cotg\ x][/math]

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