Ominide 50 punti

Derivata di una funzione inversa

Sia y=f(x) una funzione invertibile (cioè biunivoca o strettamente monotòna) e derivabile in un intervallo I, e sia x=F(y) la sua inversa.
Nei punti in cui è f(x) diversa da zero, la funzione inversa è derivabile, e la sua derivata è il reciproco della derivata della funzione data. cioè: F'(y)= 1/f'(x)

Esempio:

[math]y = \arcsin x[/math]

[math]x = \sin y[/math]

[math]\frac d {dx} \arcsin x = 1 / \frac d {dy} \sin y = 1 / \cos y = 1 / \sqrt{1 -x^2} [/math]
.


Esempio:

[math]y = \arccos x[/math]

[math]x = \cos y[/math]

[math]\frac d {dx} acos x = 1 / \frac d {dy} \cos y = -1 / \sin y = -1 / \sqrt{1 -x^2} [/math]
.


Esempio:

[math]y = \arctan x[/math]

[math]x = \tan y[/math]

[math]\frac d {dx} \arctan x = 1 / \frac d {dy} \tan y = \frac 1 { 1 + tan^2 y} = \frac 1 {1 + x^2} [/math]
.

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