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Definizioni

Integrale indefinito. Si chiama integrale indefinito della funzione

[math]f(x)[/math]
, e si indica con
[math]\int f(x)\ dx[/math]
, l’insieme di tutte le primitive
[math]F(x)+c[/math]
di
[math]f(x)[/math]
, con
[math]c[/math]
numero reale qualunque, dove
[math]F'(x)=f(x)[/math]
.


Integrale definito. Data una funzione

[math]f(x)[/math]
continua e positiva o nulla in
[math][a,b][/math]
, si chiama integrale definito esteso all’intervallo
[math][a,b][/math]
il valore comune, se esite, del limite per
[math]n[/math]
che tende a più infinito delle due successioni


[math]S_n=\sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) M_i,\qquad s_n=\sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) m_i[/math]


essendo

[math]a=x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n=n[/math]


una partizione dell'intervallo

[math][a,b][/math]
e avendo indicato


[math]M_i=\max_{x\in[x_i,x_{i+1}]} f(x),\qquad m_i=\min_{x\in[x_i,x_{i+1}]}f(x)[/math]


Tale valore è scritto:

[math]\int_a^b f(x)\ dx[/math]

Teorema di Rolle. Data una funzione

[math]f(x)[/math]
continua nell’intervallo
[math][a,b][/math]
e derivabile nei suoi punti interni, se
[math]f(a)=f(b)[/math]
, allora esiste almeno un punto
[math]c[/math]
interno all'intervallo, per il quale risulta
[math]f'(c)= 0[/math]


Teorema di Lagrange. Se una funzione

[math]f(x)[/math]
è continua in un intervallo chiuso
[math][a,b][/math]
ed è
derivabile in ogni suo punto interno, allora esiste almeno un punto
[math]c[/math]
interno all’intervallo per cui vale la relazione:

[math]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)[/math]

Teorema di Cauchy. Se le funzioni

[math]f(x)[/math]
e
[math]g(x)[/math]
sono continue nell’intervallo
[math][a,b][/math]
, derivabili in ogni punto interno a questo intervallo,
[math]g(a)\ne g(b)[/math]
e inoltre in
[math]]a,b[[/math]
è sempre
[math]g(x)\ne 0,\ g'(x)\ne 0[/math]
, allora esiste almeno un punto
[math]c[/math]
interno a
[math][a,b][/math]
in cui si ha:


[math]\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}[/math]

Calcolo delle aree. Siano

[math]f(x)[/math]
e
[math]g(x)[/math]
due funzioni definite nello stesso intervallo
[math][a,b][/math]
, con
[math]f(x)>g(x)[/math]
, per ogni
[math]x\in[a,b][/math]
, i cui grafici racchiudano una superficie; allora l’area
[math]S[/math]
della superficie è data da:

[math]S=\int_a^b [f(x)-g(x)]\ dx[/math]

Derivata. Data una funzione

[math]y=f(x)[/math]
definita in un dominio
[math]D[/math]
, si chiama derivata della funzione nel punto
[math]x_0[/math]
interno al dominio il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di
[math]f[/math]
relativo a
[math]x_0[/math]
e si indica con
[math]f'(x_0)[/math]
:

[math]f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/math]
.


La derivata di una funzione in un punto

[math]x_0[/math]
rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto d’ascissa
[math]x_0[/math]
.

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