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Trucchi per la decomposizione di trinomi

In molti casi ci si trova davanti alla decomposizione in fattori primi di generici trinomi di secondo grado. Esistono diversi metodi per fare ciò:

-il trinomio in questione è del tipo

[math]a^2+2ab+b^2[/math]
, è evidente che risulta il quadrato di un binomio, cioè
[math](a+b)^2[/math]

-il trinomio è della forma

[math]a^2+sa+p[/math]
. In tal caso è decomponibile se è
[math]s^2-4p\geq0[/math]
e si individueranno 2 numeri
[math]m[/math]
e
[math]n[/math]
tali che
[math]m+n=s, mn=p[/math]
.
Infatti, se
[math]m+n=s, mn=p[/math]
, allora il trinomio lo si può riscrivere come
[math]a^2+(m+n)a+mn[/math]
, cioè
[math]a^2+ma+na+mn[/math]
che si può raccogliere come
[math]a(a+m)+n(a+m)[/math]
e quindi
[math](a+m)(a+n)[/math]

-più genericamente, nel caso il trinomio di secondo grado venga ordinato secondo la potenza decrescente di uno dei coefficienti letterali, si può utilizzare l'algoritmo di Ruffini, cioè trovare tutte le possibili radici razionali del trinomio (ma vale anche per polinomi generici, considerando una sola delle lettere quale variabile della divisione) dividendo tutti i possibili divisori del termine noto (positivi e negativi) per tutti i possibili divisori del coefficiente direttore (cioè il coefficiente numerico del monomio di grado più alto). In questo modo si trovano gli opposti del termine noto del divisore che per il teorema fondamentale dell'algebra, è del tipo

[math]x-r[/math]
dove
[math]x[/math]
è la variabile del polinomio e
[math]r[/math]
una delle radici del polinomio

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