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Le terne pitagoriche

Una terna si dice pitagorica quando soddisfa la relazione posta dal teorema di Pitagora, cioè quando la somma dei quadrati dei due numeri minori è uguale al quadrato del maggiore. La terna 3, 4, 5, ad esempio, è una terna pitagorica, poiché:

[math]{3^2 + 4^2} = {5^2}[/math]
ovvero 9 + 16 = 25

Questa proprietà si può usare per capire se un triangolo è rettangolo o meno. Risolviamo, per esempio, il seguente problema.
Un triangolo ha i lati di 5, 12 e 14 cm. Verifica se è rettangolo.

Applichiamo il teorema di Pitagora per verificare se la terna è pitagorica:

[math]{5^2 + 12^2}[/math]
= 25 + 144 = 169 cm
[math]{14^2} = 196 cm[/math]
perciò
[math]{5^2 + 12^2} \ne {14^2}[/math]

Il nostro triangolo quindi non è rettangolo.

Le terne pitagoriche formate da numeri primi fra loro sono dette primitive. Moltiplicando o dividendo i numeri di una terna primitiva per uno stesso numero si ottiene un'altra terna pitagorica. Consideriamo per esempio la terna pitagorica 3, 4, 5.
3 * 2 = 6
4 * 2 = 8
5 * 2 = 10

[math]{6^2 + 8^2} = {10^2}[/math]
ovvero 36 + 64 = 100

Pitagora scoprì delle formule per individuare i numeri di una terna primitiva partendo da un qualsiasi numero dispari e > 1 (nelle formule indicato con

[math]{n}[/math]
) o da un qualunque numero pari e > 1 (indicato nelle formule con
[math]{p}[/math]
). Eccole:
[math]{n}[/math]
;
[math]\frac{n^2 - 1} {2}[/math]
;
[math]\frac{n^2 + 1} {2}[/math]

[math]{2p}[/math]
;
[math]{p^2 - 1}[/math]
;
[math]{p^2 + 1}[/math]

Esempi:
se

[math]{n}[/math]
= 7
7;
[math]\frac{7^2 - 1} {2} = {24}[/math]
;
[math]\frac{7^2 + 1} {2} = {25}[/math]

La terna è quindi 7, 24, 25.

se

[math]{p}[/math]
= 4
8;
[math]{4^2 - 1} = {15}[/math]
;
[math]{4^2 + 1} = {17}[/math]

La terna è quindi 8, 15, 17.

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