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Teorema di Gödel


Il teorema di Gödel dimostra che in aritmetica esistono degli enunciati indecidibili, ovvero che non si possono determinare come veri o falsi.
Esempio: A) la frase A è falsa.
Per far parlare la matematica di sé Gödel crea dei problemi indeterminabili dove ogni simbolo matematico è associato a un numero. In questo modo riesce a creare dei codici prendendo i numeri a cui sono stati associati i simboli e ponendoli come esponenti dei numeri primi (presi in ordine crescente).
Esempio: 360∈A (A è l'insieme di tutti gli enunciati falsi)
Si crea a questo punto una sorta di tabella in cui simboli e numeri sono messi in corrispondenza:

A -> 1
∈ -> 2
360 -> 3

A questo punto per creare il codice (o numeri di Gödel) bisogna associare ad ogni numero primo, preso in ordine crescente, il numero che gli corrisponde come esponente. Dopo averli associati bisogna svolgere la potenza e moltiplicare i numeri tra loro:

2^3⋅3^2⋅5^1 = 8⋅9⋅5 = 360

Il codice di 360∈A è 360. Questo è perciò un enunciato indecidibile (determinabile come vero falso).

Se questo enunciato è vero: 360∈A e A è l'insieme degli enunciati falsi, 360 è il codice di un falso.
Se questo enunciato è falso 360∈A, 360 sarebbe un codice di un vero.

In sintesi:
vero? no perché altrimenti dovrebbe essere falso
falso? no perché altrimenti sarebbe vero che 360∈A

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