sbardy di sbardy
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PROGRESSIONI ARITMETICHE:
an=a1+(n-1)d Sn=((a1+an)/2)n
PROGRESSIONI GEOMETRICHE:
an=a1q^(n-1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
[N.B. se abs(q)<1 Sn=a1/(1-q)]

SIMMETRIE ASSIALI
a. se y=k allora T: x’=x; y’=2k-y
b. se x=h allora T: x’=2h-x; y’=y
c. se ax+by+c allora T: sistema[a(x+x’)/2 +b(y+y’)/2 + c ; (y’-y)/(x’-x)=b/a] da risolvere con cramer
SIMMETRIA CENTRALE di centro c(a,b): x’=2a-x; y’=2b-y
TRASLAZIONE di vettore (a,b): x’=x+a; y’=y+b
ROTAZIONE di angolo a: x’=xcosa-ysena; y’=x’sena + ycosa
[N.B. inversa: x=x’cosa+y’sena; y= - x’sena+y’cosa]
[N.B se il centro di rotazione è (w,z)nella trasf. x= (x’-w) e y=(y’-z)]
OMOTETIA di centro c(c/(1-k); c’/(1-k)): x’=kx+c; y’=ky+c’
SIMILITUDINE
a. Diretta: x’=ax – by+p; y’=bx+ay+q

b. Inversa: x’= ax+by+p; y’=bx – ay +q
AFFINITà x’=ax+by+p; y’=cx+dy+q
[N.B. Superficie trasformata/superficie di partenza= abs(ad-bc)]

VALORI APPROSSIMATI: metodo dicotomico
La radice appartiene [a,b] per il teorema degli zeri se f(a)f(b)<0
1. considerare m=(b+a)/2 e calcolare f(a), f(b), f(m)
2. se f(m)f(a)<0 allora a<radice<m; se f(m)f(b)<0 allora m<radice<b
3. se errore<=(b-a)/(2^(n+1)) ci si ferma, altrimenti si ricomincia sull’intervallo [a,m] o [m,a] a seconda di dove è stata individuata la radice

TEOREMI
Confronto: H date f(x), g(x), h(x) definite tutte in Ix0 tali che per qualsiasi x appartenente I sussista f(x)<g(x)<h(x) allora T se esiste lim x-x0 f(x)=l e di h(x)=l allora esiste lim x-x0 di g(x)=l
Permanenza: se esiste finito non nullo il lim x-x0 allora esiste un intorno di x0 in cui la funzione assume lo stesso segno del limite
FUNZIONE CONTINUA IN z: se esiste f(z), se esiste il limite x-z f(x)= l, se f(z)= l
WEIRSTRASS: data funzione definita e continua in intervallo allora ammette max e min assoluti
VALORI INTERMEDI: definita e continua assume tutti i valori compresi tra max e min
ZERI: definita e continua e se f(a)f(b)<0 allora esiste almeno un’intersezione con l’asse x
ROLLE: continua e derivabile e f(a)=f(b) allora esiste almeno un x0 che annulla la derivata prima
CAUCHY: continua e derivabile allora esiste x0 per cui (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(x0)/g’(x0)
LAGRANGE: continua e derivabile allora esiste x0 per cui f’(x0)=(f(b)-f(a))/(b-a)

STUDIO DI FUNZIONI
1. DOMINIO
2. INTERSEZIONI CON GLI ASSI

3. SIMMETRIE
a. f(x)=f(-x) PARI
b. f(x)= - f(x) DISPARI
4. SEGNO
5. COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI DEL DOMINIO E ASINTOTI:
a. Verticali: valore finito del limite in un punto escluso dal dominio
b. Orizzontali: valore finito del limite che tende a infinito
c. Obliqui: valore infinito del limite che tende a infinito, valore finito non nullo m del limite che tende a infinito della funzione divisa per x, valore finito q del limite che tende a infinito della funzione meno mx
6. DERIVATA PRIMA
7. PUNTI DI NON DERIVABILITA’: Fare il dominio della derivata prima
a. Angoloso: x0 discontinuità di terza specie
b. Cuspide: se x0 non appartiene al dom della derivata e i limiti dell’intorno di x0 hanno infiniti di segno opposto
c. Flesso tg verticale: x0 escluso dal dom della derivata e i limiti dell’itorno di x0 hanno infiniti dello stesso segno (+ ascendente, - discendente)
8. MONOTONIA MASSIMI E MINIMI
y’>0 quando x… allora y è crescente
y’=0 quando x= allora c’è un max/min
y’<0 quando x… allora y è decrescente
Teorema: data f(x) derivabile n volte in (a,b) e tale che in x0 le derivate fino al grado (n-1) sono nulle ma quella di grado n è diversa da zero allora
a. se n è pari in x0 c’è un max se fennesima(x0)<0
b. se n è dispari in x0 c’è un flesso a tg orizzontale disc. se fennessima(x0)<0
9. DERIVATA SECONDA: CONCAVITà E FLESSI
a. La funzione volge la concavità verso l’alto dove la derivata seconda è maggiore di zero.
b. Flessi a tg obliqua si hanno in x0 tale che annulla la derivata seconda ma non la derivata terza né la prima
10. GRAFICO

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