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Strutture algebriche

In matematica una struttura algebrica è formata da un insieme generico e da un operazione

[math]*[/math]
che associa a due elementi dell' insieme
[math]A[/math]
detti operandi, un elemento detto risultato.
Se anche il risultato appartiene all' insieme
[math]A[/math]
, come gli operandi, allora l'operazione si dice interna.
A seconda delle proprietà dell'operazione
[math]*[/math]
, l'operazione algebrica assume nomi differenti.
Possiamo avere il magma, il semigruppo, il monoide ed il gruppo per i quali l'operazione
[math]*[/math]
assume via via proprietà sempre più dettagliate.
Le strutture algebriche più elementari sono le seguenti:

Magma:

Si dice Magma una struttura algebrica
[math](A,*)[/math]
in cuiè soddisfatta la proprietà di chiusura

[math]∀ a, b ∈ A\qquad a * b ∈ A [/math]

Es: i numeri 3 , 4 appartengono ad N : 3+4= 7 che appartiene ad N


Semigruppo:
Si definisce Semigruppo, un Magma in cui

[math]*[/math]
è associativa

[math]∀ a, b, c ∈ A \qquad a * (b * c) = (a * b) * c[/math]

Es: 2+(4+5) = (2+4)+5 [Associativa in N]


Monoide:
Un Monoide è un Semigruppo in cui esiste un particolare elemento detto elemento neutro che soddisfa la seguente proprietà:

[math]∃\ e ∈ A\ |\ ∀\ a ∈ A\quad a * e = a[/math]

Es: 0 appartenente ad N è numero neutro. 5+0=5


Gruppo:
Un Gruppo è un Monoide in cui ogni elemento ammette un inverso.
L'elemento inverso è quell'elemento che associato a quello dato da come risultato l'elemento neutro. In simboli:

[math]∀\ a ∈ A\quad ∃\ a^-1 ∈ A\ |\ a * a^-1 = e[/math]

Es: 3 + (-3) = 0 in Z
3 è l'elemento dato
-3 è l'elemento opposto

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