Scomposizione trinomio di secondo grado

Vediamo come scomporre un trinomio di secondo grado, spesso utilizzato nelle frazioni algebriche.
Prendiamo in considerazione il trinomio:

[math]4x^{2}-7x+3[/math]
.

La prima strada è quella di trovare due numeri la cui somma sia

[math]-7[/math]
e il cui prodotto sia
[math]+12[/math]
. I due numeri in questione sono:
[math]-4[/math]
e
[math]-3[/math]
, infatti:
[math]-3+(-4)=-7[/math]
e
[math]-4(-3)=+12[/math]
. Siccome il coefficiente della
[math]x^{2}[/math]
è
[math]4[/math]
e non
[math]1[/math]
, è necessario "spezzare" il trinomio in un quadrinomio, attraverso i numeri che abbiamo ricercato:

[math]4x^{2}-7x+3\\
4x^{2}-4x-3x+3[/math]

A questo punto, messa in evidenza parziale:

[math]4x(x-1)-3(x-1)\\
(x-1)(4x-3)[/math]

Ed ecco che abbiamo scomposto il nostro trinomio come il prodotto tra due binomi.

La seconda strada è quello di risolverlo per mezzo di un'equazione, ricordando che una volta trovate le radici, la formula per ottenere il trinomio è

[math]a(x-x_{1})(x-x_{2})[/math]
.

[math]4x^{2}-7x+3[/math]
, calcoliamo il discriminante:
[math]∆=b^{2}-4ac[/math]
,
[math]∆=49-48=1[/math]
.


[math]x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{∆}}{2a}=\frac{7±1}{8}[/math]
. Otteniamo:


[math]x_{1}=\frac{7+1}{8}=1\\
x_{2}=\frac{7-1}{8}=\frac{3}{4}[/math]


Scriviamo il nostro trinomio con la formula prima citata:

[math]4(x-1)(x-\frac{3}{4})\\
4(x-1)(\frac{4x-3}{4})\\
(x-1)(4x-3)[/math]

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