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Definizione


In matematica, con espressione si intende una combinazione finita di simboli ben organizzati in accordo con determinate regole dipendenti dal contesto.


Classificazione


Tra i molteplici tipi di espressioni matematiche, quelli basilari consistono in:

- espressioni aritmetiche: possono essere presenti numeri reali, operazioni aritmetiche elementari, fattoriali;

- espressioni polinomiali: possono essere presenti i simboli delle espressioni aritmetiche con l'aggiunta di termini letterali con esponenti naturali;

- espressioni algebriche: possono essere presenti i simboli delle espressioni polinomiali con l'aggiunta di termini letterali con esponenti razionali.

Nota: come è evidente, un'espressione aritmetica non è altro che un tipo particolare di espressione polinomiale (e quindi anche di espressione algebrica), così come un'espressione polinomiale è un tipo particolare di espressione algebrica.


Ordine con cui eseguire le operazioni


In presenza di parentesi, si comincia calcolando ciò che è presente nelle parentesi tonde, poi ciò che è presente nelle parentesi quadre, quindi ciò che è presente nelle parentesi graffe ed infine le operazioni rimaste.

Per quanto riguarda l'esecuzione di tali operazioni:

i) se sono presenti potenze esse hanno la precedenza su tutte le altre operazioni;

ii) se sono presenti solo addizioni o solo moltiplicazioni si possono eseguire nell'ordine desiderato;

iii) se sono presenti solo sottrazioni, solo divisioni, o addizioni e sottrazioni, oppure moltiplicazioni e divisioni occorre eseguire le operazioni nell'ordine scritto;

iv) se sono presenti tutte e quattro le operazioni elementari si procede eseguendo prima le moltiplicazioni e le divisioni nell'ordine scritto e poi le addizioni e le sottrazioni sempre nell'ordine scritto.


Quando perde di significato un'espressione?


- Nel caso in cui un denominatore si annulla.

- Nel caso in cui il radicando di una radice ad indice pari è negativo.


Calcolo di un'espressione aritmetica


[math]
\begin{aligned}
& \dots \left[\left(\frac{4}{5} - \frac{9}{10} + \frac{5}{3}\right):\left(-\frac{4}{15}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{3}{47}\right)^2 + \frac{1}{4} - 2 \\

& = \left[\frac{4\cdot 6 - 9\cdot 3+5\cdot 10}{30}:\left(-\frac{4}{15}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{3}{47}\right)^2 + \frac{1}{4} - 2 \\

& = \left[\frac{47}{30}\cdot\left(-\frac{15}{4}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{3}{47}\right)^2 + \frac{1}{4} - 2 \\

& = \left[\left(\frac{47}{30}\right)\cdot\left(-\frac{15}{4}\right)\cdot\left(-\frac{3}{47}\right)\right]^2 + \frac{1}{4} - 2 \\

& = \left[\frac{3}{8}\right]^2 + \frac{1}{4} - 2 \\

& = \frac{9}{64} + \frac{1}{4} - 2 \\

& = \frac{9\cdot 1 + 1\cdot 16 - 2\cdot 64}{64} \\

& = - \frac{103}{64}
\end{aligned}\\
[/math]


Calcolo di un'espressione polinomiale


[math]
\begin{aligned}
& \dots \left[ \left(\frac{1}{2}\,a^2\,b\right)^2 + \frac{1}{6}\,a^2\,(-3\,a\,b)^3 \right] + 2\,b^2\left(-\frac{1}{2}\,a^2\right)^2 + 7\,a^3\,b\,(-a\,b)^2 \\

& = \left[ \frac{1}{4}\,a^4\,b^2 + \frac{1}{6}\,a^2\left(-27\,a^3\,b^3\right) \right] + 2\,b^2\,\frac{1}{4}\,a^4 + 7\,a^3\,b\left(a^2\,b^2\right) \\

& = \left[ \frac{1}{4}\,a^4\,b^2 - \frac{9}{2}\,a^5\,b^3 \right] + \frac{1}{2}\,a^4\,b^2 + 7\,a^5\,b^3 \\

& = \frac{3}{4}\,a^4\,b^2 + \frac{5}{2}\,a^5\,b^3
\end{aligned}\\
[/math]


Calcolo di un'espressione algebrica


[math]
\begin{aligned}
& \dots \left(\frac{4\,x^2 - 4\,x + 1}{y^2 - 1}\right)^2\cdot\left(2\,x^2 - x\right)^{-2}\cdot\left(y^3 - 1\right)^3 \\

& = \left[\frac{(2\,x - 1)^2}{(y + 1)\,(y - 1)}\right]^2\cdot\frac{1}{\left[x\,(2\,x - 1)\right]^2}\cdot\left[(y - 1)\left(y^2 + y + 1\right)\right]^3 \\

& = \frac{(2\,x - 1)^4}{(y + 1)^2\,(y - 1)^2}\cdot\frac{1}{x^2\,(2\,x - 1)^2}\cdot(y - 1)^3\cdot\left(y^2 + y + 1\right)^3 \\

& \text{C.E.:} \, y \ne \pm 1 \, \land x \ne 0 \, \land x \ne \frac{1}{2} \; ; \\

& = \frac{(2\,x - 1)^2\,(y - 1)\left(y^2+y+1\right)^3}{x^2\,(y + 1)^2} \\
\end{aligned}
[/math]

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