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I RAPPORTI STATISTICI

Numeri indici semplici o rapporti indici

Tali rapporti pongono a confronto le intensità o le frequenze di uno stesso fenomeno in tempi diversi o luoghi diversi. Il termine col quale vengono messi a rapporto tutti gli altri dicesi base degli indici. La base nel caso di una serie storica può essere mantenuta costante ed allora si chiama base fissa, oppure può cambiare di volta in volta ed allora si dice base variabile. In questo secondo caso si rapporta ciascun termine a quello precedente in modo da mettere in evidenza la variazione relativa di ciascuno di essi rispetto al precedente. Con i numeri indici a base fissa si rendono più immediati i confronti tra i vari periodi di tempo perché, essendo tutti i termini riferiti ad una stessa base uguale a 100, ogni numero indice dà una misura di quante unità percentuali in più o in meno si sono avute in ciascun periodo rispetto a quello preso per base. I numeri indici a base variabile mettono in evidenza le variazioni relative tra periodi successivi. È opportuno avvertire che per calcolare la serie dei numeri indici occorre che tutti i dati yi siano confrontabili tra loro.
Numeri indici complessi
Si costruisce una serie di indici complessi mediante sintesi dei rapporti indici dei prezzi delle singole merci. Detta sintesi si concretizza nella totalizzazione degli indici semplici dei prezzi mediante uno dei seguenti procedimenti:
· rapporto di medie,
· media di rapporti,
· rapporto di aggregati.
Il procedimento di totalizzazione mediante rapporto di medie consiste nel fare la media dei prezzi delle varie merci nei successivi tempi del periodo in esame e nel calcolare poi i numeri indici effettuando, il rapporto tra i prezzi medi relativi ai due tempi che si vogliono prendere in considerazione.
Il metodo di totalizzazione con media di rapporti consiste invece nel calcolare, previa determinazione del tempo base, i rapporti indici per ciascuna delle merci. In tal modo si otterranno per ogni tempo tanti rapporti quante sono le merci. Successivamente si procederà alla costruzione dell’indice mediante calcolo della media di tutti i rapporti ottenendo la quantità
Per quanto attiene, infine, alla totalizzazione con rapporto di aggregati diremo che questa consiste nel sommare i prezzi assoluti delle merci per ognuno dei tempi successivi costituenti il periodo in esame. Si calcolerà poi l’indice effettuando il rapporto fra le due somme dei prezzi relativi ai due tempi che si vogliono porre a confronto.
Un contributo importante nella costruzione degli indici dei prezzi è dato dalla ponderazione dei prezzi stessi espressa dalle quantità relative al tempo base qi0 o al tempo finale qit. L’indice nel quale la ponderazione avviene con le quantità al tempo base è quello di Laspeyres. A detto indice si contrappone quello di Paasche, che usa come pesi le quantità relative al tempo finale. La formula di Laspeyres presenta una certa tendenziosità positiva rispetto a quella di Paasche. Infatti, per la legge della domanda, qit < qi0 e pertanto la ponderazione con i consumi iniziali vede accentuata l’influenza di detti incrementi rispetto alla ponderazione con i consumi finali. Allo scopo di neutralizzare le opposte tendenziosità il Fisher propose un incrocio geometrico

I principali numeri indici dei prezzi calcolati dall’Istat
Indice dei prezzi di consumo x l’intera collettività. Si prende come base un determinato anno. Viene elaborato utilizzando le rilevazioni dei prezzi su una vasta gamma di prodotti e servizi. Le rilevazioni vengono effettuate a scadenze prestabilite a seconda che siano prodotti alimentari beni durevoli ecc. e sono effettuate in tutti i comuni capoluoghi di provincia.
Indice dei prezzi al consumo x le famiglie di operai ed impiegati. Si diversifica x i coefficienti di ponderazione degli indici elementari. Vengono calcolati x ciascun capoluogo di provincia, x prevenire agli indici nazionali sono considerati gli indici relativi a 20 capoluoghi di provincia, uno x regione.
Indice dei prezzi praticati dai grossisti o indice dei prezzi all’ingrosso. Misura le variazioni nel tempo dei prezzi che si formano nelle transazioni tra imprese in cui il venditore è il grossista.
Media = valore che sintetizza la distribuzione; serve a confrontare distribuzioni nel tempo; si basa sulla COND INVARIANTE

Media aritmetica = valore che possiamo attribuire singolarmente a ciascuna unità statistica del collettivo lasciando invariato l’ammontare complessivo del carattere
Media geometrica = valore costante che sostituito alle xi ne lascia inalterato il prodotto
Media armonica = valore reciproco della media aritmetica del reciproco dei termini
Medie lasche = valori medi che si basano solo sui alcuni valori della distribuzione e prevalentemente sull’ordine che gli elementi presentano rispetto alla caratteristica osservata.
VC =centro del campo di variazione / semisomma valori estremi
Mediana = valore che bipartisce la graduatoria ordinata nel senso che lascia ugual n° di termini da1parte e l’altra
Quartile = quel valore al disotto del quale stanno ¼ (¾) dei valori della X e al di sopra del quale stanno i ¾ ( ¼ )dei valori
Moda = valore della X che ha la max frequenza Mo=μ –3*(μ -Me)
Variabilità = attitudine dei caratteri ad assumere differenti modalità (dispersione e disuguaglianza)
Dispersione = misura di quanto le quantità rilevate differiscono in media dalla grandezza che si è assunta a rappresentare l’intensità del carattere μ
Disuguaglianza = misura di quanto le diverse quantità rilevate differiscono tra loro
Variabilità relativa in relazione alla media o al massimoàdistribuzione massimante= massimizza la variabilità
Distrib originale distrib massimante p

Misure di concentrazione
· il fenomeno è tanto + concentrato quanto maggiori sono le differenze (pi - qi) x i diversi valori di i non considerando pN e qN

· rappresentando pi e qi àcurva di lorenz
· se pi=qi àretta di equidistribuzione
· la concentrazione è tanto maggiore quanto + grandi sono le differenze fra retta e curva di concentrazione
· R =0 se pi=qi (equidistrib) R=1 concentrazione massima
· Il pi % delle aziende ha il qi% dei clienti
Asimmetria positiva se il diagramma si prolunga dalla parte degli scarti positivi rispetto a Me (…)
Sk = γ1 se >0 A.positiva; =0 simmetria; <0 a.negativa
Curva normale
· Simmetrica e asintotica
· Area al disotto = N se si usano le freq assolute; =1 se si usano le freq relative
· Presenta un punto di massimo in corrispondenza dell’ascissa μ
· Presenta due flessi in corrispondenza delle ascisse μ+δ e μ –δ
· Al variare di μ la curva subisce delle traslazioni sull’asse delle ascisse
· Al variare di δ assume una forma +o- aguzza per δ piccolo o +o- appiattita per δ grande
Teorema di chebicheff = non conoscendo la distribuzione, la frequenza dei valori compresi nell’intervallo simmetrico μ+-zδ non è inferiore a 1-1/z2 con z>1
Disnormalità = studio della maggiore o minore normalità
Ipernormale = distribuzione + alta delle CN al centro e nelle code e + bassa ai fianchi
Iponormale = distribuzione + bassa della CN al centro e nelle code e + spessa nei fianchi
γ 2> 0 ipern; =0 normale; <0 ipo
R. analitica=consiste nel trovare una funzione matematica che possa rappresentare nel modo migliore la distribuzione del fenomeno osservato
Metodo delle somme=uguagliare tante somme di valori teorici a tante somme di valori effettivi quanti sono i parametri
Metodo delle aree= f empiriche = area dei rettangoli. F teoriche = aree sotto la curva teorica che sono analiticamente pari agli integrali definiti dai limiti delle classi (solo x classi - istogramma)
Metodo dei minimi quadrati = si basa su1condizione di accostamento che consiste nel determinare i valori dei parametri in modo che sia minima la somma quadrati delle diff yi - yi*
Indipendenza = la v.s. Y dipende statisticamente da X o è connessa ad X quando la distribuzione dei valori assunti da Y in corrispondenza ad ogni valore xi varia con xi
Dipendenza In media = CONNESSIONE = misura dell’intensità di dipendenza in una scala compresa tra 0 (ind) e 1 (dip); REGRESSIONE = relazione o funzione tra x e y in modo da determinare y noto x
B= coeff di regressione che esprime di quanto varia il carattere Y in media al variare di un’unità del carattere X
Regress con coppie di valori = determinare una funzione che esprima nella maniera migliore il legame tra carattere antecedente X e conseguente Y in media. Regress x tabella a doppia entrata = facendo corrispondere ad ogni xi la media parziale yi otteniamo la spezzata detta linea di regressione della Y rispetto a X.

R2= indica quanta parte della devianza totale è spiegata dalla retta di regressione.. =1 (tutti i punti giacciono sulla r di regressione); =0 (indip in media)
η misura quanta parte della devianza totale di Y è attribuibile alla dipendenza dalle medie di Y da X e alla dispersione delle distribuzioni vincolate rispetto alla linea di regressione. Varia tra 0 e 1.
Interdipendenza
Concordanza = se a valori piccoli di un carattere corrispondono valori piccoli dell’altro. r o p= -1 (max discordanza); =0 (indiff); =1 (max concordanza)
p= sostituendo in r ai valori ri e si (ranghi) x caratteri ordinabili e non quantificabili
Inferenza =tecnica che attraverso il campione e le sue statistiche cerca di stimare i corrispondenti valori incogniti della popolazione entro un certo margine di precisione o errore.
Universo dei campioni = dalla popolazione è possibile estrarre Nn campioni
Θ qualunque parametro della popolazione (lettere greche μ δ π)
Θ qualunque statistica del campione (lettere latine x s p)
La media delle medie campionarie è uguale alla media della popolazione
La varianza del campione è uguale al rapporto tra la varianza della popolazione e la dimensione del campione
δx=SQM popàdi quanto le xi si scostano in media dalla loro media μ nella popolazione
S =SQM campàdi quanto in media le xi si scostano dalla loro media x nel campione
δx=SQM delle (x)àdi quanto le (x) si scostano dalla loro media μ nell’universo dei campioni

Teorema del limite centrale = se il campione è sufficientemente grande (20-30) la distribuzione delle medie campionarie diventa normale con media = μ e varianza = δ 2/n anche se la popolazione di partenza non è normale.

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