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Ripartizione semplice - Problemi

Appunto esplicativo di matematica sui problemi di ripartizione semplice con esempi per facilitare la comprensione.

E io lo dico a Skuola.net
I problemi di ripartizione semplice

I problemi di ripartizione semplice sono problemi in cui una grandezza viene ripartita in parti direttamente o inversamente proporzionali ad un gruppo di numeri.
Se le parti sono direttamente proporzionali al gruppo di numeri si parla di ripartizione semplice diretta, se al contrario sono inversamente proporzionali si parla di ripartizione semplice inversa.

Risolviamo questo problema di ripartizione semplice diretta.
Ripartisci il numero 30 in parti direttamente proporzionali ai numeri 5, 3 e 2.

Indichiamo con x, y e z le tre parti in cui sarà divisa la grandezza. Sappiamo che ciascuna parte è direttamente proporzionale ai numeri 5, 3 e 2 e possiamo scrivere questa relazione sotto forma di catena di rapporti:
x : 5 = y : 3 = z : 2

Inoltre sappiamo che x + y + z = 30

Adesso applichiamo la proprietà del comporre della catena di rapporti, secondo cui la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ciascun antecedente sta al proprio conseguente.
(x + y + z) : (5 + 3 + 2) = x : 5
30 : 10 = x : 5

(x + y + z) : (5 + 3 + 2) = y : 3
30 : 10 = y : 3

(x + y + z) : (5 + 3 + 2) = z : 2
30 : 10 = z : 2

Ora non ci resta che risolvere le proporzioni:
[math]x = \frac{\no{30}^3 * 5} {\no{10}^1} = {3 * 5} = 15[/math]

[math]y = \frac{\no{30}^3 * 3} {\no{10}^1} = {3 * 3} = 9[/math]

[math]z = \frac{\no{30}^3 * 2} {\no{10}^1} = {3 * 2} = 6[/math]

Ora proviamo a risolvere il seguente problema di ripartizione semplice inversa.
Ripartisci il numero 600 in parti inversamente proporzionali ai numeri 15, 60 e 20.

Anche qui indichiamo con x, y e z le tre parti in cui verrà suddiviso il 600. Esse sono inversamente proporzionali ai numeri 15, 60 e 20 e possiamo scrivere questo legame sotto forma di uguaglianza di prodotti:
x * 15 = y * 60 = z * 20

Dobbiamo trasformare quest'uguaglianza di prodotti in una catena di rapporti.
Un prodotto fra due numeri si può considerare come il quoziente che si ottiene dividendo il primo per l'inverso del secondo. La nostra uguaglianza di prodotti diventerà perciò la seguente catena di rapporti:
[math]x : \frac{1} {15} = y : \frac{1} {60} = z : \frac{1} {20}[/math]

Adesso applichiamo la proprietà del comporre delle catene di rapporti come abbiamo fatto prima, tenendo conto che x + y + z = 600.
[math](x + y + z) : (\frac{1} {15} + \frac{1} {60} + \frac{1} {20}) = x : \frac{1} {15}[/math]

[math]600 : \frac{2} {15} = x : \frac{1} {15}[/math]

[math](x + y + z) : (\frac{1} {15} + \frac{1} {60} + \frac{1} {20}) = y : \frac{1} {60}[/math]

[math]600 : \frac{2} {15} = y : \frac{1} {60}[/math]

[math](x + y + z) : (\frac{1} {15} + \frac{1} {60} + \frac{1} {20}) = z : \frac{1} {20}[/math]

[math]600 : \frac{2} {15} = z : \frac{1} {20}[/math]

Ed ora risolviamo le proporzioni:
[math]x = \frac{\no{600}^{40} * \frac{1} {\no{15}^1}} {\frac{2} {15}} = 40 : \frac{2} {15} = \no{40}^{20} * \frac{15} {\no2^1} = {20 * 15} = {300}[/math]

[math]y = \frac{\no{600}^{10} * \frac{1} {\no{60}^1}} {\frac{2} {15}} = 10 : \frac{2} {15} = \no{10}^5 * \frac{15} {\no2^1} = {5 * 15} = {75}[/math]

[math]z = \frac{\no{600}^{30} * \frac{1} {\no{20}^1}} {\frac{2} {15}} = {30} : \frac{2} {15} = \no{30}^{15} * \frac{15} {\no2^1} = {15 * 15} = {225}[/math]
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