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Potenze con esponente frazionario

Ricordiamolo ancora una volta (così ci rimarrà impresso nella mente per sempre):

la potenza

[math]b[/math]
di un numero reale
[math]n[/math]
è un numero della forma

[math]b=n^a[/math]

che mi dice di moltiplicare

[math]n[/math]
per se stesso
[math]a[/math]
volte
.
[math]a[/mathi] può essere un qualsiasi numero naturale (cioè intero e maggiore o uguale a 0), negativo (quindi intero, positivo e negativo) ed anche frazionario!
Allora

la potenza frazionaria [math]b[/math]

di un numero reale
[math]n[/math]
è un numero della forma

[math]b=n^{a/c}[/math]

che mi dice di moltiplicare

[math]n[/math]
per se stesso
[math](a/c)[/math]
volte
.
[math](a/c)[/math]
è un numero razionale tale che
[math]c[/math]
sia diverso da 0.

Ok, ma come si realizza questo prodotto frazionario???

La potenza frazionaria di un numero è legata alla sua estrazione di radice. Vediamo di capire in che modo, analizzando un semplice esempio.

Ragioniamo sulla radice quadrata di 4, che indichiamo con

[math]\sqrt{4}[/math]
.
Quando dobbiamo calcolarla, cerchiamo quel numero
[math]x[/math]
che moltiplicato per se stesso
[math]2[/math]
volte (o, equivalentemente, elevato a 2) faccia 4:

[math] \sqrt{4}= x\ \Leftrightarrow\ x^2 = 4 [/math]

Ok e, naturalmente, sappiamo tutti che questo numero

[math]x[/math]
è 2, perché
[math]2^2 = 4[/math]

Quindi siamo arrivati a questa conclusione

[math] \sqrt{4} = \sqrt{2^2} = 2 [/math]

Per ottenere la seconda uguaglianza è come se avessimo diviso l'esponente del radicando per l'indice della radice .
ESATTO!!! È proprio questo che si fa quando estraiamo la radice - di indice qualsiasi - di un numero.

Esempi:

[math]\sqrt{16} = \sqrt{2^4} = \sqrt{2^{4/2}} = 2^2 = 4\ \Rightarrow\ 4^2 = 16\\

\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3^{3/3} = 3^1 = 3\ \Rightarrow\ 3^3 = 27\\

\sqrt[6]{531441} = \sqrt[6]{3^12} = 3^{12/6} = 3^2 = 9\ \Rightarrow\ 9^6 = 531441[/math]

Abbiamo così capito da dove derivino le potenze con esponente frazionario! O meglio, abbiamo capito come esprimere sotto forma di potenza una radice di indice qualsiasi:

[math]\sqrt[c]{n^a} = n^{a/c}[/math]

Allora, permutando i membri di questa uguaglianza, otteniamo la definizione di potenza con esponente razionale

[math]n^{a/c} = \sqrt[c]{n^a}[/math]
.

Esempi:

[math]3^{2/3} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}\\

7^{5/4} = \sqrt[4]{7^5} = \sqrt[4]{16807}[/math]

E se volessimo calcolare una potenza con esponente razionale negativo? (Ricordiamo la definizione di potenza con esponente negativo: il segno - dell'esponente capovolge la potenza):

[math]4^{-2/5} = 4^{(-1)\cdot(2/5)} = [4^{2/5}]^{-1} = [\sqrt[5]{4^2}]^{-1} = 1/\sqrt[5]{16}[/math]

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