MEDIA QUADRATICA

Iniziamo con la definizione di media quadratica:

Quel valore che se sostituito ai valori originari lascia invariata la somma dei quadrati.


Per cui, in termini generali avremo che:


[math]\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\ =\ M^{2}_q*n[/math]


Quindi la media quadratica è il valore che si deve andare a sostituire ai valori di

[math]x[/math]
per cui le
[math]x_{i}[/math]
sono elevate al quadrato e quindi anche la media quadratica dovrà essere elevata al quadrato.
Porto
[math]n[/math]
al secondo membro ed ho:


[math]\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\ =\ M^{2}_q*n\ \ \to \ \ \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}{n}\ =\ M^{2}_q[/math]


A noi però serve la media quadratica, non al quadrato per cui se pongo tutto sotto radice (ambedue i termini) avrò:


[math]\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}{n}}\ =\ \sqrt{M^{2}_q}[/math]


Per cui la radice quadrati al secondo membro ed il termine al quadrato, possono semplificarsi ed ottengo quindi la formula del caso semplice. Dunque:


[math]\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}{n}}\ =\ M_q[/math]


Calcoliamo dunque la media quadratica su queste tre osservazioni:

[math]1,2,3[/math]
e sarà uguale:


[math]M_q=\ \sqrt{\frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}}{3}}\ =\ 2,16[/math]


Per cui, vediamo la prova del nove: abbiamo detto che la media quadratica è quel valore che se sostituito ai valori originari lascia invariata la somma dei quadrati. Quindi:


[math]1^{2}+2^{2}+3^{2}=14 \to 2,16^{2}+2,16^{2}+2,16^{2}=14[/math]


CASO PONDERATO


Vediamo il caso ponderato. La media quadratica differisce dal caso semplice perché le

[math]x_{i}^{2}[/math]
vengono moltiplicate per l'
[math]n_{i}[/math]
che rappresenta la frequenza con cui esse si ripetono. Quindi:


[math]M_q=\ \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{s} x_{i}^{2}*n_{i}}{n}}[/math]

dove ovviamente

[math]n=\sum_{i=1}^s n_i[/math]
.


Ciò che conta è applicarlo all'esercizio pratico, quindi:


[math]M_q=\ \sqrt{\frac{1^{2}*7+2^{2}*5+3^{2}*3}{15}}=\ 1,897[/math]

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