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Problemi di massimo e di minimo

Con l‘ausilio delle derivate si possono risolvere una molteplicità di problemi. Quelli che affronteremo in questa sede sono i problemi di massimo e di minimo. Per impostarli , occorre stabilire qual è la grandezza che si vuole debba essere
massima o minima e indicarla con la variabile dipendente y. La x dovrà
rappresentare una opportuna grandezza variabile del problema da scegliere di
volta in volta.

Per chiarire quanto affermato consideriamo due esempi entrambi riguardanti
problemi di geometria piana.

1) Fra i rettangoli di perimetro 2p, qual è quello di area massima?

In questo caso con y, per quanto detto precedentemente, indichiamo l’area del
rettangolo che è la grandezza da “massimizzare”, con x possiamo indicare una
delle due dimensioni del rettangolo. L’altra dimensione sarà uguale a

[math]2p-2x[/math]
, cioè a
[math]p-x[/math]
.
Se si tiene conto che l’area del rettangolo è uguale al prodotto delle due
dimensioni, possiamo scrivere:
[math]y=x(p-x)[/math]

oppure
[math]y=px-x^2[/math]

Per determinare il massimo di questa funzione calcoliamo la derivata prima,
la poniamo uguale a zero e determiniamo il segno della derivata seconda nel punto trovato.
[math]y'=p-2x=0\Rightarrow x=p/2[/math]

[math]y''=-2[/math]

Considerato che la derivata seconda, nel punto in cui si annulla la derivata prima, è minore di zero, possiamo affermare che la funzione ha un massimo per

[math]x=p/2[/math]

e che l’altra dimensione del rettangolo misura
[math]p-x=p/2[/math]

Possiamo concludere constatando che un rettangolo, di perimetro noto, ha area
massima quando è un quadrato (particolare rettangolo) di lato un quarto il perimetro.


2) Fra i triangoli rettangoli aventi area uguale a S^2, qual è quello con l’ipotenusa minore?

Indichiamo con y l’ipotenusa e con x uno dei due cateti. L’altro cateto misurerà
allora

[math]2S^2/x[/math]
.
Applicando il teorema di Pitagora possiamo scrivere:
[math]y^2=x^2+(2S^2/x)^2=x^2+\frac{4S^4}{x^2}[/math]

da cui
[math]y=\frac{\sqrt{x^4+4S^4}}{x}[/math]

Calcolando la derivata prima si ha
[math]y'=\frac{2x^3}{x\sqrt{x^4+4S^4}}-\frac{\sqrt{x^4+4S^4}}{x^2}[/math]

da cui
[math]y'=\frac{x^4-4S^4}{x^2sqrt{x^4+4S^4}}[/math]

In questo caso utilizziamo il metodo della monotonia, cioè
poniamo la derivata prima maggiore o uguale a zero,
[math]y'=\frac{3x^4-4S^4}{x^2sqrt{x^4+4S^4}}geq 0.[/math]

Se teniamo conto che la radice è una quantità positiva e che il denominatore si annulla solo in zero ed è sempre positivo, dopo aver semplificato otteniamo
[math]3x^4 - 4S^4\geq 0[/math]

Scomponendo otteniamo:
[math](x^2-2S^2)(x^2+2S^2)\geq 0[math]
Dato che il secondo fattore, somma di due quadrati, è sempre positivo, la disequazione si
riduce a:
[math]x^2-2S^2\geq 0[/math]

e ha come soluzioni
[math]x\leq -\sqrt{2}S\textrm{ e } x\geq \sqrt{2}S[/math]

Per questi valori la funzione è monotona crescente,
di conseguenza ha un minimo per
[math]x=\sqrt{2}S[/math]
.
L’altro cateto allora misurerà
[math]2S^2/x=\sqrt{2}S[/math]

In conclusione possiamo affermare che
un triangolo rettangolo di area
[math]S^2[/math]
ha l’ipotenusa minore quando è rettangolo isoscele, con cateti pari a
[math]\sqrt{2}S[/math]
. Inoltre, l'ipotenusa misura
[math]2S[/math]
.

Fonte: http://sefed.altervista.org/

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