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Logaritmi

X=logₐb
Dati due numeri positivi a e b con a diverso da 1, si dico logaritmo in base a del numero b l’esponente x che occorre dare ad a per ottenere b.
In base a tale definizione le seguenti due uguaglianze risultano equivalenti:
a ͯ=b logₐb=x
i due numeri a e b vengono rispettivamente chiamati base e argomento del logaritmo.
Il logaritmo è definito solo se x>0, a>0, a diverso da 1.
Trovare un logaritmo equivale, infatti, a trovare un esponente.
Il grafico della funzione logaritmica è speculare rispetto a quello esponenziale, perché l’uno è l’inverso opposto dell’altro.
Come abbiamo già detto, il numero b si chiama argomento del logaritmo e deve essere un numero positivo.
Dalla definizione, si hanno le seguenti proprietà:
1. Il logₐb è positivo, se: a>0 e b>0, o 0<a<1 e 0<b<1.

2. Il logₐb è negativo, se: a>1 e 0<b<1, o 0<a<1 e b>1.
3. logₐa=1, perché a¹=a.
4. logₐ1=0, perché a⁰=1.
5. Se due numeri sono uguali, anche i loro logaritmi (rispetto alla stessa base) sono uguali, e viceversa.
6. Se la base a è maggiore di 1, al crescere del numero b, cresce anche il logaritmo di questo.
7. Se la base a è minore di 1, al crescere del numero b, il logaritmo decresce.
Infine:
- Non si può parlare di logaritmo di un numero rispetto alla base 1, o rispetto a una base negativa o nulla;
- Non esiste il logaritmo di un numero negativo.
L’insieme dei logaritmi di tutti i numeri positivi, rispetto a una data base a, si chiama sistema dei logaritmi a base a.
Tra gli infiniti possibili sistemi di logaritmi, due sono quelli che comunemente si considerano: quello in base 10 (log) e quello in base e (ln).
I logaritmi godono di alcune proprietà a patto che tutti i singoli termini delle uguaglianze siano definiti.
a) Il logaritmo di un prodotto di fattori positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori.
a. logₐ(b*c*d*…) = logₐb+logₐc+logₐd+…
b) Il logaritmo di un quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore.
a. logₐb/c = logₐb-logₐc
c) il logaritmo della potenza di un numero positivo, a esponente reale qualunque, è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base della potenza.
a. logₐb ͯ= x*logₐb
d) il logaritmo in base a di un numero b diverso da 1, è uguale al reciproco del logaritmo in base b del numero a.
a. logₐb=1/logᵦa
e) il logaritmo in base a di un numero N è uguale al prodotto tra il logaritmo dello stesso numero N in un’altra base b e il reciproco del logaritmo di a in base b.
a. logₐN=logₐN*1/logᵦa=logᵦN/logᵦa.
Tali proprietà valgono anche in senso inverso, per esempio:
la somma di due logaritmi in una stessa base è uguale al logaritmo del prodotto degli argomenti.
logₐb+logₐc = logₐ(b*c)

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