INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI

Oggi parleremo di come si integrano le frazioni razionali che vi ricordo che sono quelle funzioni che si presentano nella forma di una frazione in cui sia al numeratore che al denominatore trovate un polinomio.
L'idea qui è che c'è una procedura d'integrazione diversa, e che prevede fondamentalmente quattro passaggi, di cui il primo va eseguito solo in certi casi. Vediamo subito di cosa si tratta e successivamente lanciamoci sul primo esempio.


1. DIVISIONE
Il primo passaggio, che va eseguito soltanto se il grado del denominatore è minore o uguale al grado del numeratore, prevede di dividere il polinomio al numeratore per il polinomio al denominatore con l'usuale divisione tra polinomi. Eventuali casi:

Se

[math]grd\ d(x)\ >\ grd\ n(x)[/math]
, salto questo passaggio.


2. FATTORIZZAZIONE
Una volta fatto ciò, si prede la frazione che sarà rimasta e bisogna fattorizzarne il denominatore, ossia dobbiamo riscrivere il suo denominatore come prodotto di tanti piccoli polinomi di primo grado o di secondo grado non scomponibili.


3. DECOMPORRE
Come terzo passaggio, dobbiamo decomporre la frazione in una somma di frazioni più semplici.


4. INTEGRAZIONE
Come ultimo passaggio finalmente dovremmo integrare i vari pezzettini che si sono così generati.


Come al solito, per capire meglio di che cosa stiamo parlando, consideriamo subito un primo esempio e proviamo ad integrare la seguente funzione:


[math]\int \frac{x^{3}-3x-1}{x^{2}-x-2}\ dx[/math]


Come vedete, questa si presenta sotto forma di frazione in cui al numeratore e al denominatore abbiamo un polinomio e quindi possiamo procedere con gli start scritti in precedenza.

1. Dobbiamo fare la divisione tra polinomi del numeratore e del denominatore e la eseguiamo perché il grado del polinomio del numeratore è maggiore del grado del polinomio del denominatore. Quindi:


Questo algoritmo ci consente di riscrivere la nostra frazione di partenza:

[math]\frac{x^{3}-3x-1}{x^{2}-x-2}[/math]
in questo modo:
[math]x+1+\frac{1}{x^{2}-x-2}[/math]
, potete provare che questi due oggetti sono uguali semplicemente dando il denominatore comune a destra e svolgendo i conti.


2. Secondo passaggio prevede di considerare la frazione:

[math]\frac{1}{x^{2}-x-2}[/math]
e fattorizzare il suo denominatore, ossia riscriverlo come prodotto di parentesi di primo o di secondo grado in questo caso non scomponibili. Come facciamo a scomporre
[math]x^{2}-x-2[/math]
? Potete usare Ruffini, potete risolvere l'equazione di secondo grado associata, potete usare somma prodotto (il metodo che preferite). In questo caso io utilizzo somma prodotto quindi cerco due numeri che abbiano come prodotto
[math]-2[/math]
e come somma
[math]-1[/math]
e sono
[math]-2[/math]
e
[math]+1[/math]
. Quindi possiamo scriverlo come:


[math]x^{2}-x-2\ =\ (x-2)(x+1)[/math]


3. Il terzo passaggio prevede che dobbiamo riscrivere questa frazione come una somma di frazioni più semplici. E quindi si fa così: dobbiamo cercarla di riscriverla come una certa frazione che abbia per denominatore

[math]x-2[/math]
più un'altra frazione che abbia come denominatore
[math]x+1[/math]
:


[math]\frac{1}{x^{2}-x-2}\ =\ \frac{A}{x-2}\ +\ \frac{B}{x+1}[/math]


A questo punto fate il denominatore comune, quindi:


[math]\frac{1}{x^{2}-x-2}\ =\ \frac{A}{x-2}\ +\ \frac{B}{x+1}\ =\\
=\ \frac{Ax+A+Bx-2B}{(x-2)(x+1)}\ =\ \frac{(A+B)x+A-2B}{(x-2)(x+1)}[/math]


Ora se vogliamo che la prima e l'ultima frazione che abbiamo scritto nella catena di uguaglianza vogliamo che coincidano, deve accadere che il termine con la

[math]x[/math]
sparisca e quindi l'unica via è che
[math]A+B=0[/math]
e invece deve succedere che
[math]A-2B=1[/math]
:


[math]
\begin{cases} A+B=0 \\
A-2B=1 \end{cases}
[/math]


Questo sistema lo potete risolvere con il metodo che preferite, io procedo brutalmente con sostituzione (in altre parole applichiamo il principio di identità dei polinomi):


[math]
\begin{cases} A+B=0 \\
A-2B=1 \end{cases}
[/math]

[math]
\begin{cases} A=-B \\
-B-2B=1 \end{cases}
[/math]

[math]
\begin{cases} A=\ \frac{1}{3} \\
B=\ -\frac{1}{3} \end{cases}
[/math]

Quindi vedete una volta risolto il sistema lineare, il punto 3 sostanzialmente è finito e cosa ci permette di dire? Ci permette di dire che:


[math]\frac{1}{(x-2)(x+1)}\ =\ \frac{1}{3}*\frac{1}{x-2}-\frac{1}{3}*\frac{1}{x+1}[/math]


4. Ora abbiamo tutti i mattoncini per passare al quarto passaggio. Quindi vedete:


[math]\int \frac{x^{3}-3x-1}{x^{2}-x-2}\ dx\ =\ \int [x+1+\frac{1}{3}*\frac{1}{x-2}-\frac{1}{3}*\frac{1}{x+1}]\ dx[/math]


Procediamo ad eseguire quest'ultimo integrale:


[math]\int [x+1+\frac{1}{3}*\frac{1}{x-2}-\frac{1}{3}*\frac{1}{x+1}]\ dx\\
|\\
|\\
=\ \int x\ dx\ +\ \int dx\ +\ \frac{1}{3}\ \int \frac{1}{x-2} dx-\frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx\\
|\\
|\\
=\ \frac{x^{2}}{2}+x+\frac{1}{3}\ ln|x-2|-\frac{1}{3}\ ln|x+1|+c\\
|\\
|\\
=\ \frac{x^{2}}{2}+x+\frac{1}{3}\ ln|\frac{x-2}{x+1}|+c [/math]

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