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L’INSIEME DEI NUMERI REALI

Partendo dall’insieme dei numeri naturali (N),ossia dai numeri del conteggio,per estensioni successive di operazioni si sono introdotti i numeri razionali assoluti (qa),cioè quei numeri rappresentabili per mezzo di rapporti.
Da qui l’ulteriore adattamento per giungere ai numeri razionali relativi(q). In tale insieme si sono definite le operazioni di somma,differenza,moltiplicazione,divisione e potenza. Ovviamente con le ben note limitazioni di divisione e potenza.
Rimane da definire l’operazione inversa della potenza. Appoggiamoci ad un esempio:

Assegnato il numero razionale 2,ci si chieda qual è quel numero razionale che, elevato al quadrato dà 2. Anche con l’aiuto di una calcolatrice,andiamo in cerca di tale numero. Per tentativi,ci costruiamo due sequenze numeriche:

A₁ ≡ {1; 1,4; 1,41;…} A₁{1; 1,96; 1,9881;…}
A₂ ≡ {2; 1,5; 1,42; 1,415;…} A₂{4; 2,25; 2,0164;…}

Esaminando l’insieme A₁ e A₂ scopriamo che i quadrati dei numeri in A₁ approssimano per difetto il 2,quelli in A₂ per eccesso.

Iterando il procedimento non riusciamo a trovare risposta al quesito posto,anche se diventa sempre più attendibile un valore numerico che “SEPARA” i due insiemi. Siamo in presenza di due insiemi detti CLASSI CONTIGUE DI NUMERI RAZIONALI.

Più in generale,diciamo che due insiemi numerici (A₁ e A₂) formano CLASSI CONTIGUE DI NUMERI RAZIONALI SE E SOLO SE:

1) Ogni numero del primo insieme A₁ è minore di ciascun numero del secondo insieme A₂.
2) Assegnato il numero razionale positivo Ɛ (“epsilon”) piccolo a piacere,è sempre possibile trovare un numero in A₂ e un numero in A₁ tale che la loro differenza sia minore di Ɛ.

Quel numero,ELEMENTO SEPARATORE, di due classi contigue di numeri razionali,è un NUMERO IRRAZIONALE,cioè un numero decimale illimitato non periodico.
Con riferimento all’esempio fatto,il nostro elemento separatore (n. irrazionale) è 2.

L’unione dei numeri razionali con i numeri irrazionali,dà l’insieme dei numeri reali ( R ).
R≡QᴜI

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